Médiane et moyenne

Faut-il calculer la médiane ou la moyenne ? Les deux mon capitaine !

La moyenne

Imagine que tu aies quatre frères et sœurs, qui auraient 4, 16, 17 et 18 ans. Avec tes 15 ans, fais-tu partie des “grands” ?
L’âge moyen est \({\large{4+15+16+17+18\over5}}={\large{70\over5}}=14\text{ ans}\).
Félicitations, ton âge est au-dessus de la moyenne ! Pourtant il y a peu tu étais le “petit dernier” de la famille.

Tu passes les vacances chez tes cousins ; les jumeaux ont 14 ans, les deux autres ont 13 et 24 ans.
Si le plus vieux avait été absent ce jour, tu aurais été le plus grand. Pourtant tu as en-dessous de l’âge moyen qui est \({\large{13+14+14+15+24\over5}}=16\text{ ans}\).
Alors ? Serais-tu le plus petit des grands ? Ou le plus grand des petits ?

La moyenne est souvent utilisée pour positionner les individus dans des groupes. On te dit peut-être que tes résultats sont satisfaisants dès que tu reçois une note au-dessus de la moyenne de la classe. Mais il suffit qu’il y ait des très bons — ou très mauvais — élèves dans la classe pour que la moyenne perde de son intérêt mathématique, comme le montrent le petit frère de 4 ans et la grande cousine de 24.

La médiane

Dans le premier exemple, les cinq frères et sœurs ont, du plus petit au plus grand,  4, 15, 16, 17 et 18 ans.
La moitié a donc 16 ans ou moins.
Mais que veut dire “la moitié” lorsqu’il y a cinq individus ? Pour être sûr de n’oublier personne, on arrondit systématiquement au-dessus : \({\large{5\over2}}=2.5\approx3\). On regarde les trois plus petites valeurs. L’âge médian est 16 ans.
Avec tes 15 ans, tu fais donc partie des “petits”. Pourtant tu as as sans doute plus de loisirs communs avec les grands qu’avec le petit dernier.

Dans le deuxième exemple, les âges sont 13, 14, 14, 15, 24.
La moitié des cousins ont au moins 14 ans, tu fais partie des grands. Pourtant tu passes plus de temps avec les trois plus jeunes.

Que se passe-t-il si on ajoute un nouvel adolescent de 16 ans ?
Dans le premier cas — 4, 15, 16, 16, 17, 18 — les trois plus jeunes ont 16 ans ou moins. Le suivant a également 16 ans. L’âge médian est 16 ans.
Dans le deuxième cas — 13, 14, 14, 15, 16, 24 — les trois plus jeunes ont 14 ans ou moins, tu peux donc choisir une médiane égale à 14 ans. Mais n’importe quelle valeur entre 14 et 15 est correcte. Ton professeur te demandera peut-être de choisir 14 ans et demi (la moyenne de 14 et 15). C’est une habitude plus qu’une vérité mathématique.

Alors, moyenne ou médiane ?

Ce ne sont que des indicateurs, et les deux sont discutables.
Au lycée tu rencontreras des outils plus précis — écart inter-quartiles, écart-type — qui s’appuyent néanmoins sur la médiane et la moyenne. Il faut donc que tu apprennes dès le collège à calculer ces deux valeurs, pour les utiliser vraiment les prochaines années.

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Étendue, médiane et moyenne n’autont plus de secret pour toi. De quoi faire une révision rapide avant les évaluations.