Parallélogrammes et calculs dans un repère
Au lycée la géométrie abandonne le compas pour le repère orthonormé, la règle pour le calcul.
Depuis l’école primaire les problèmes de géométrie sont synonymes de tracés à faire à la règle, au compas, à l’équerre ou au rapporteur. Ceci a permis de mettre en évidence les principales propriétés des figures usuelles, sur les longueurs, les angles, les droites parallèles ou perpendicualires.
Au collège le théorème de Pythagore et les formules de trigonométrie ont permis les premiers calculs de longueurs et d’angles dans des triangles rectangles. Au lycée travailler dans un quadrillage à mailles carrées permet d’avoir autant de triangles rectangles que l’on veut. Toutes les formules de géométrie seront donc des conséquences de celles du collège.
Ci-dessous nous allons voir ensemble les principes de base du calcul dans un repère orthonormé.
Avant de se lancer dans les formules, savoir compter les carreaux
Dans l’exemple ci-dessus, on passe du point A au point B en avançant de 3 carreaux vers la droite et de 2 carreaux vers le haut.
Et voici notre premier vecteur : \(\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\) .
De même, pour aller de B à A, on recule (donc négatif) de 3 carreaux, et on descend (négatif aussi) de 2 carreaux.
Et voici notre deuxième vecteur : \(\overrightarrow{\text{BA}}\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}\) .
Pour vérifier qu’un quadrilatère est un parallélogramme, il suffit alors de compter les carreaux, ou de donner les vecteurs correspondants, ce qui revient exactement au même.
- Pour aller de A en B on avance de 3 carreaux et on monte de 2 carreaux. Pour aller de D en C c’est la même chose, donc ABCD est un parallélogramme.
- \(\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\overrightarrow{\text{DC}}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\) donc ABCD est un parallélogramme.
Deux façons de dire la même chose. La deuxième est plus rapide quand on a l’habitude, non ?
À titre d’exercice, vérifie que les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AD}}\) et \(\overrightarrow{\text{BC}}\) sont égaux eux aussi.
Un calcul de périmètre
- Au collège on écrirait “Dans le triangle \(\text{ABC}\) rectangle en \(\text{C}\), \(\text{AB}^2=\text{AC}^2+\text{CB}^2=3^2+2^2=9+4=13\) donc \(\text{AB}=\sqrt{13}\).”
- Au lycée, on écrira plutôt “Dans le repère orthonormé, \(\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\) donc \(\text{AB}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\).”
Ici encore ce sont deux façons de dire la même chose.
À titre d’exercice, vérifie que \(\text{AD}=\sqrt{37}\).
Conclusion ? Le périmètre du parallélogramme est \(\sqrt{13}+\sqrt{37}+\sqrt{13}+\sqrt{37}\approx19.4\) .
Un calcul d’aire
Le piège classique — et un peu sadique — des profs de maths consiste à demander l’aire du parallélogramme. Comme il n’existe pas de formule, les élèves répondent n’importe quoi, et le prof met zéro à tout le monde 😊
À l’aide du quadrillage, on remarque un beau triangle rectangle — donc un demi-rectangle — de côtés 6 et 1, donc d’aire \(6\times1÷2=3\) carreaux. Le grand rectangle, de diagonale [AC], a pour aire \(9\times3=27\) carreaux.
En lui soustrayant tous les triangles et rectangles qui se trouvent à l’intérieur, arriveras-tu à montrer que le parallélogramme a pour aire 9 carreaux ?
Question bonus : arriveras-tu, avec les 4 cordonnées (nombres) des vecteurs \(\overrightarrow{\text{AD}}\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\) , à inventer un calcul qui permet de retrouver l’aire du parallélogramme ABCD ? Si oui, tu viens peut-être de découvrir la formule du produit vectoriel ; mais ceci est une autre histoire, hors programme du lycée… Dommage, non ? 😎
Et la relation de Chasles ?
Pour aller de B en C, on avance de 6 carreaux et on monte de 1. Bon, un peu trop facile.
Que se passerait-il si on passait par A et D ?
- de B à A : on recule de 3, on descend de 2 ;
- de A à D : on avance de 6, on monte de 1 ;
- de D à C : on avance de 3, on monte de 2 ;
- bilan horizontal : on a avancé de 6+3=9 et reculé de 3, donc avancé de 6 ;
- bilan vertical : on a monté de 1+2=3 et descendu de 2, donc monté de 1 ;
- tiens, ça revient au même !
Conclusion : pour aller de B en C, on peut passer par où on veut, ce qui s’écrit, dans le cas où on utilise les points A et D : \(\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{DC}}\).
Une fois que tu auras pris l’habitude de la notation vectorielle, le plus dur ne sera pas d’écrire la relation de Chasles, mais de trouver par quels points passer pour que les calculs soient les plus simples possibles : par A ? par D ? par les deux ?
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Tu l’auras compris, pour être bon en géométrie au lycée, il suffit d’être à l’aise avec le comptage de carreaux — c’est-à-dire avec les vecteurs.
Une activité pour tracer des parallélogrammes et utiliser la relation de Chasles :
Tu peux aussi t’entrainer à utiliser la relation de Chasles sans aucun graphique.
En classe de Terminale, tu auras besoin de visionner des figures dans l’espace.
L’activité suivante te fait parcourir les arêtes et les faces d’un tétraèdre en utilisant des vecteurs :
Et si tu as besoin de revoir le théorème de Pythagore 😁 :
