Spé maths 17 juin 2026 exercice 3 — probabilités
🎓 Corrigé Bac Maths 2026 : Vrai ou Faux (Exercice 3 – Mercredi)
Dans cet exercice, nous devons valider ou infirmer quatre affirmations concernant les musiciens professionnels, en utilisant les probabilités, les statistiques et le dénombrement.
Affirmation 1 : Probabilité conditionnelle
Énoncé : Si la personne choisie est une femme, alors la probabilité qu’elle joue de la Pop est de 0,832.
Analyse :
Notons les événements :
- \(O\) : « la personne joue de la Pop ».
- \(F\) : « la personne est une femme ».
Données de l’énoncé :
- \(P(O) = 0,52\) (52 % jouent de la Pop).
- \(P_O(F) = 0,32\) (parmi ceux qui jouent de la Pop, 32 % sont des femmes).
- \(P(F) = 0,20\) (20 % des musiciens sont des femmes).
On cherche la probabilité que la personne joue de la Pop sachant qu’elle est une femme, c’est-à-dire \(P_F(O)\).
Formule : \(P_F(O) = {\large\frac{P(O \cap F)}{P(F)}}\).
Calculons d’abord \(P(O \cap F)\) :
\(P(O \cap F) = P(O) \times P_O(F) = 0,52 \times 0,32 = 0,1664\).
Calculons maintenant \(P_F(O)\) :
\(P_F(O) = {\large\frac{0,1664}{0,20}} = 0,832\).
Conclusion : L’affirmation est VRAIE.
Affirmation 2 : Loi Binomiale
Énoncé : En arrondissant au dixième, on a \(P(X \leq 340) \approx 0,4\).
Analyse :
On répète \(n = 5000\) fois une épreuve de Bernoulli (être musicien ou non) avec une probabilité de succès \(p = 0,062\) (6,2 %).
La variable aléatoire \(X\) suit donc la loi binomiale \(\mathcal{B}(5000 ; 0,062)\).
Calculons l’espérance \(E(X)\) pour situer la valeur 340 :
- \(E(X) = n \times p = 5000 \times 0,062 = 310\).
L’affirmation demande la probabilité cumulée \(P(X \leq 340)\).
La valeur 340 est supérieure à l’espérance (310). Dans une loi binomiale (qui est asymétrique mais se concentre autour de l’espérance pour un grand \(n\)), la probabilité d’être inférieur à une valeur supérieure à l’espèrance est généralement supérieure à 0,5.
Vérification à la calculatrice :
En utilisant la fonction de répartition binomiale (souvent notée binomFRép ou binomcdf) avec les paramètres \(n=5000\), \(p=0,062\) et \(x=340\) :
\(P(X \leq 340) \approx 0,959\) (valeur arrondie).
Le résultat obtenu est environ 0,96, ce qui est très loin de 0,4 annoncé dans l’affirmation.
Conclusion : L’affirmation est FAUSSE.
Affirmation 3 : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Énoncé : Il y a plus de 95 % de chance que le nombre de musiciens soit strictement compris entre 230 et 390.
Analyse :
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev stipule que pour tout réel \(\epsilon > 0\) :
\(P(|X – E(X)| \geq \epsilon) \leq {\large\frac{V(X)}{\epsilon^2}}\)Ou sous la forme complémentaire :
\(P(|X – E(X)| < \epsilon) \geq 1 – {\large\frac{V(X)}{\epsilon^2}}\)L’intervalle donné est \(]230 ; 390[\). Cet intervalle est-il centré sur l’espérance \(E(X) = 310\) ?
- Borne inférieure : \(310 – 230 = 80\).
- Borne supérieure : \(390 – 310 = 80\).
Oui, l’intervalle correspond à \(|X – 310| < 80\). Donc \(\epsilon = 80\).
Calculons la borne inférieure de la probabilité :
\(1 – {\large\frac{V(X)}{80^2}} = 1 – {\large\frac{290,78}{6400}} \approx 0,9546\)L’inégalité nous assure que : \(P(230 < X < 390) \geq 0,9546\).
Puisque \(0,9546 > 0,95\), il y a bien plus de 95 % de chance.
Conclusion : L’affirmation est VRAIE.
Affirmation 4 : Dénombrement
Énoncé : On peut former 120 équipes différentes.
Analyse :
Contexte :
- Total : 10 personnes (4 musiciens professionnels \(M\), 6 non-musiciens \(N\)).
- Une équipe est constituée de 5 joueurs : 2 musiciens et 3 non-musiciens.
Calculons le nombre de façons de former une telle équipe :
- Choisir 2 musiciens parmi 4 : on note cela \({\left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array}\right)}\).
- Choisir 3 non-musiciens parmi 6 : on note cela \({\left(\begin{array}{c} 6 \\ 3 \end{array}\right)}\).
Calculs détaillés :
- Pour les musiciens : \({\left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array}\right)} = {\large\frac{4 \times 3}{2 \times 1}} = 6\).
- Pour les non-musiciens : \({\left(\begin{array}{c} 6 \\ 3 \end{array}\right)} = {\large\frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1}} = 20\).
Le nombre total d’équipes possibles est le produit des deux choix :
\(6 \times 20 = 120\).
Conclusion : L’affirmation est VRAIE.
Récapitulatif des réponses
- Affirmation 1 : VRAI
- Affirmation 2 : FAUX
- Affirmation 3 : VRAI
- Affirmation 4 : VRAI
