Arbres de probabilités
En délicatesse avec les arbres ? Tu préfères les tableaux ? Éclaircis-toi les idées avec un exemple de problème classique, où l’arbre prend l’avantage sur le tableau.
Plus je joue, plus je gagne ?
Lorsque je découvre un nouveau jeu, j’ai remarqué que je gagnais une fois sur cinq. Si je gagne une partie, je gagne la suivante une fois sur deux. Mais si je perds, je perds la suivante trois fois sur quatre.
La question est la suivante : est-ce que je dois vite arrêter de jouer, ou au contraire l’expérience fera que plus je jouerai, plus je gagnerai ?
Un arbre à deux niveaux
Dans ce type d’exercice, on construit l’arbre en suivant l’ordre chronologique. Que se passe-t-il en premier ? Je découvre un nouveau jeu, et soit je gagne (G) soit je perds (P). Le point de départ — “je découvre le jeu” — est à gauche, les résultats possibles — gagne G ou perds P — sont à droite.
Un tel arbre prend vite beaucoup de place, prends l’habitude de pondérer ses branches : tu indiques qu’une branche sur cinq mène à G, et que quatre branches sur cinq mènent à P.
Continuons, que se passe-t-il ensuite ?
- “Si je gagne, je gagne la suivante une fois sur deux.” Et donc je perds une fois sur deux.
- “Si je perds, je perds la suivante trois fois sur quatre.” Et donc je gagne une fois sur quatre.
Continue l’arbre, toujours de la gauche vers la droite :
Et pourquoi pas un tableau ?
En effet, pourquoi pas ? Et tant qu’à essayer de simplifier, tu peux utiliser des effectifs — entiers — plutôt que des fréquences — fractions —.
Si tu as le choix, prends un effectif de 100, éventuellement 1000.
Je reprends :
- “Je gagne une fois sur cinq” donc si j’essaye 100 jeux, je vais gagner 20 fois, et donc perdre 80 fois.
- “Si je gagne une partie, je gagne la suivante une fois sur deux” donc mes 20 victoires vont m’en apporter 10 supplémentaires.
- “Si je perds, je perds la suivante trois fois sur 4” d’où mes 80 parties perdues vont m’en faire perdre 60 autres.
Dans un tableau :
Résumé des étapes :
- partir d’un effectif de 100
- calculer des proportions (1/5 x 100, 3/4 x 80 etc)
- diviser par 100 pour revenir aux fréquences
Retour à l’arbre
Tu peux obtenir les mêmes résultats dans l’arbre. Au lieu de multiplier des effectifs par des fréquences, multiplie les fréquences entre elles.
Mais alors, quelle est la probabilité que je gagne la deuxième partie ?
- dans le tableau, c’est simple le résultat est donné dans la deuxième colonne : la probabilité est p = 3/10 = 0,3 ;
- dans l’arbre, il faut chercher les “G” à droite, et ajouter les probabilités qui leur correspondent : p = 1/10 + 1/5 = 0,1 + 0,2 = 0,3
Une troisième partie ?
La probabilité de gagner la première partie est 1/5 = 0,2 . Tu viens de voir que celle de gagner la deuxième est 0,3. Peut-on en conclure que la probabilité de gagner la troisième partie sera 0,4 ? Puis, pour les parties suivantes, 0,4 … 0,5 … 0,6 … 0,7 … 0,8 … 0,9 … 1 ? … 1,1 ???
Non, une probabilité ne peut pas dépasser 1. C’est d’ailleurs un des moyens pour se rendre compte que la méthode utilisée ne convient pas.
Il va donc falloir creuser un peu plus.
Dans le tableau
Les tableaux ne sont qu’à double entrée, c’est leur principal inconvénient. Pour calculer la probabilité de gagner la troisième partie, il faut créer un nouveau tableau.
La probabilité de gagner la troisième partie est 0,15 + 0,175 = 0,325 .
Dans l’arbre
Il suffit de prolonger l’arbre précédent vers la droite.
Tu peux maintenant calculer la probabilité de gagner la troisième partie, en additionnant les résultats de l’arbre : 0,05 + 0,025 + 0,1 + 0,15 = 0,325 .
Pour aller plus loin
La suite \(\left(g_n\right)\) des probabilités de gagner la n-ième partie vérifie \(g_{n+1}=1/2 g_n + 1/4 (1-g_n)\).
Cette relation est tirée du tableau des n-ième et (n+1)-ième parties, mais peut être obtenue d’un arbre équivalent.
C’est une suite arithmético-géométrique, croissante, dont l’étude déborde du cadre de cet article. Néanmoins sa limite \(\ell\) vérifie l’équation \(\ell=1/2 \ell + 1/4 (1-\ell)\) dont l’unique solution est \(\ell=1/3\).
Ainsi, même en jouant un grand nombre de fois au même jeu, la probabilité que je gagne l’une ou l’autre des parties restera inférieure à 1/3. 😭
Alors, tableau ou arbre ?
Dans ce type de problème, où l’expérience aléatoire peut être décomposée en étapes successives, l’arbre est généralement le plus pratique.
À l’inverse, comment représenter dans un arbre les données suivantes ?
- 60% des élèves ont choisi la spécialité A ;
- 45% des élèves ont choisi la spécialité B ;
- 20% des élèves ont choisi A et B.
La probabilité qu’un élève pris au hasard n’ait choisi ni la spécialité A ni la spécialité B est 0,15.
Plus facile à montrer dans un tableau que dans un arbre ! À toi d’essayer.
Quelques formules du cours tirées du tableau ou de l’arbre
- \(P(A\cup B) = P(A) + P(B) – P(A\cap B)\) vient du tableau
- \(P(A\cap B) = P(A) \times P_A(B)\) vient de l’arbre
- \(P(B)=P(A\cap B) + P(\overline{A}\cap B)\) se trouve dans le tableau et dans l’arbre.
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