Nombres complexes
Tu rames un peu avec les nombres imaginaires et complexes ? Un rapide tour d’horizon pour dédramatiser, avant de faire quelques divisions.
Les nombres négatifs
Au collège tu as rencontré les nombres négatifs. Pendant des siècles les mathématiciens ont eu du mal à les accepter, certains les qualifiants d’absurdes. Et pourtant tu n’as eu besoin que de quelques mois pour les apprivoiser.
Pour les représenter, on trace une droite contenant les nombres positifs. Les négatifs sont obtenus par symétrie. Dans la vie de tous les jours, c’est ce que l’on observe sur un thermomètre.
Demi-tour !
Mieux que la symétrie, le demi-tour permet de décomposer le mouvement. Tu pars du 3, et tu le fais tourner autour du 0. Tu arrives à -3.
C’est aussi l’occasion d’introduire la multiplication par (-1) et la règle des signes. Pourquoi as-tu appris que “moins par moins égale plus” ? Parce qu’après avoir fait deux demi-tours, tu reviens au point de départ.
Ce que tu peux également noter \((-1)^2=1\).
Les nombres imaginaires
Et si on s’arrêtait en chemin ? Si on décomposait chaque demi-tour en deux quarts de tour ?
On en déduit quelques égalités que tu devras retenir, ou retrouver par toi-même :
- demi-tour : \(i^2=-1\)
- trois quarts de tour : \(i^3=-i\)
- tour complet : \(i^4=1\)
Les nombres complexes et les calculs
Dans le dictionnaire : “complexe” = qui contient plusieurs éléments différents
À partir des deux axes, on construit un quadrillage permettant de repérer points et vecteurs et on change la notation habituelle des cordonnées.
Addition, soustraction, multiplication par un réel
Les calculs usuels sur les vecteurs sont compatibles avec les nombres complexes :
\(\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}+4\begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}21\\-5\end{pmatrix}\) est équivalent à \((1+3i)+4(5-2i)=1+3i+20-8i=21-5i\)
Attention : le produit scalaire n’est pas égal au produit des nombres complexes :
- \(\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}=1\times5+3\times(-2)=-1\)
- \((1+3i)\times(5-2i)=5+15i-2i-6i^2=5+13i+6=11+13i\)
Produit de deux nombres complexes
Multiplier un vecteur par 4 donne un vecteur 4 fois plus grand. Multiplier un vecteur par -4 donne un vecteur 4 fois plus grand et de sens opposé. Mais multiplier un vecteur par 4i ?
exemple \((2+3i)\times i=2i+3i^2=2i-3=-3+2i\)
En multipliant un vecteur par 4i, tu obtiendras un vecteur 4 fois plus grand, et tourné d’un quart de tour.
À titre d’exercice, vérifie que \((2+4i)\times 0.5i\) donne un vecteur tourné d’un quart de tour et deux fois plus petit.
En combinant nombres complexes et cercle trigonométrique, tu apprendras à faire des rotations de n’importe quel angle remarquable. Par exemple, pour obtenir un triangle équilatéral, il “suffira” de multiplier un vecteur par \({1\over2}+{\sqrt3\over2}i\)…
Quotient de deux nombres complexes
Alors que la division de deux vecteurs est interdite, tu pourras, oui oui, diviser deux nombres complexes ; et seras souvent amené à le faire.
Avant de voir à quoi ça sert, voici quelques exemples :
- \({\large{2+3i\over2i}}={\large{(2+3i)\times(-i)\over2i\times(-i)}}={\large{-2i-3i^2\over-2i^2}}={\large{3-2i\over2}}=1.5-i\)
- \({\large{2+3i\over-2i}}={\large{(2+3i)\times i\over-2i\times i}}={\large{2i+3i^2\over-2i^2}}={\large{-3+2i\over2}}=-1.5+i\)
La méthode ne semble pas très compliquée : pour faire disparaitre un i au dénominateur, on multiplie par (-i). Pour faire disparaitre un (-i), on multiplie par i.
Et pour faire disparaitre le i de 2+3i ? Si tu as en tête l’identité remarquable \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) tu penseras peut-être à multiplier par 2-3i. Essayons :
- \({\large{-3+2i\over2+3i}}={\large{(-3+2i)\times(2-3i)\over(2+3i)\times(2-3i)}}={\large{-6+9i+4i-6i^2\over4+6i-6i-9i^2}}={\large{13i\over13}}=i\)
Autre exemple :
- \({\large{-3+2i\over2+6i}}={\large{-3+2i\over2\times(1+3i)}}={\large{(-3+2i)\times(1-3i)\over2(1+3i)\times(1-3i)}}={\large{-3+9i+2i-6i^2\over2(1+3i-3i-9i^2)}}={\large{3+11i\over20}}=0.15+0.55i\)
remarque : factoriser par 2 n’est pas indispensable, mais permet de simplifier les calculs
Pourquoi faire des divisions ?
De la même façon que la multiplication \((2+3i)\times i=2i+3i^2=2i-3=-3+2i\) permet de faire tourner un vecteur de 90°, la division \({\large{-3+2i\over2+3i}}=i\) montre que l’angle entre les deux vecteurs d’affixes respectives 2+3i et -3+2i est 90°, et que les deux vecteurs ont la même norme. Un peu plus long que le produit scalaire, mais celui-ci ne donne que des informations sur les angles, pas sur les longueurs. À toi de voir, dans chaque cas, quelle méthode est préférable.
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Addtions, soustractions et multiplications :
Divisions :
