Comment factoriser un nombre entier ?

Collège

Pour simplifier les calculs, il est parfois utile de décomposer les grands nombres en nombres plus petits.

L’application la plus courante est la simplification de fractions : \(\large{8\over12}=\large{4\times2\over4\times3}=\large{2\over3}\)

Les nombres premiers ne sont pas indispensables à la factorisation mais ils permettent de garantir qu’aucune simplification n’a été oubliée.

Quatre nombres premiers très utiles : 2, 3, 5, 7

Les multiples de 10

On commence par le plus facile, les nombres qui se terminent par un ou plusieurs 0.

\(30=3\times10=3\times2\times5\)

\(700=7\times10\times10=7\times2\times5\times2\times5\)

Les multiples de 2

Tu dois savoir diviser par 2 les nombres qui se terminent par 2, 4, 6 ou 8.

\(26=2\times13\)

\(34=2\times17\)

\(38=2\times19\)

\(62=2\times31\)

etc.

Les multiples de 5

Diviser par 5 revient à multiplier par 2 puis diviser par 10.
Entraine-toi avec différents nombres se terminant par 5.

\(65÷5=65\times2÷10=130÷10=13\)

\(135÷5=135\times2÷10=270÷10=27\)

etc.

Les multiples de 9

Tu reconnais un multiple de 9 à la somme de ses chiffres, qui doit être égale à un multiple de 9 :

117 est divisible par 9 car \(1+1+7=9\) ;

153 est divisible par 9 car \(1+5+3=9\) ;

279 est divisible par 9 car \(2+7+9=18\)

Exercice de calcul mental : diviser par 9 revient à multiplier par un peu plus de 0,11 car \(1÷9=0,1111111…\).

En pratique, pour diviser rapidement un nombre par 9 :

divise le nombre par 10 ;
divise le nombre par 100 ;
additionne les deux résultats ;
arrondis à l’entier supérieur.

Exemples :

avec 117 : \(11{,}7+1{,}17=12{,}87\approx13\) donc \(117=9\times13=3\times3\times13\) ;
avec 153 : \(15{,}3+1{,}53=16{,}83\approx17\) donc \(153=9\times17=3\times3\times17\) ;
avec 279 : \(27{,}9+2{,}79=30{,}69\approx31\) donc \(279=9\times31=3\times3\times31\) ;
attention, cela ne fonctionne pas à partir de 900 : \(90+9=99\) mais \(900=9\times100\).

Les multiples de 3

Même principe qu’avec 9 : un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

111 est divisible par 3 car \(1+1+1=3\) ;

123 est divisible par 3 car \(1+2+3=6\) ;

129 est divisible par 3 car \(1+2+9=12\) ;

etc.

Les multiples de 7

Malheureusement il n’y a pas de règle générale.

Parmi les nombres inférieurs à 100, tu dois connaitre \(49=7\times7\;,\;77=7\times11\;,\;91=7\times13\) ;

pour les nombres compris entre 100 et 199, enlève 100 et ajoute 2. Si le résultat est un multiple de 7, alors le nombre est divisible par 7 :

\(119\mapsto19+2=21=3\times7\) donc 119 est divisible par 7 ;

\(133\mapsto33+2=35=5\times7\) donc 133 est divisible par 7 ;

\(161\mapsto61+2=63=9\times7\) donc 161 est divisible par 7.

les autres multiples de 7 sont divisibles par 2, par 3 ou par 5, donc commence par essayer de diviser par 2, 3 ou 5 :

\(112=2\times56=2\times7\times8=2\times7\times2\times2\times2\)

\(147=3\times49=3\times7\times7\)

\(175=5\times35=5\times5\times7\)

\(189=9\times21=3\times3\times3\times7\)

etc.