Identités remarquables en pratique

Collège

Au collège tu apprends trois identités remarquables.

L’intérêt de ces égalités est de gagner du temps quand il faut développer des produits comme \((2x-3)(2x+3)\).
Mais si c’était le seul avantage on n’y consacrerait pas autant de temps et d’énergie.

Au lycée elles vont servir à factoriser et résoudre des équations telles \(x^2-6x+8=0\).

Mais elles sont également utiles pour le calcul mental, notamment pour calculer des carrés, comme \(4{,}5^2=20{,}25\).

Les trois identités

\((a+b)^2=(a+b)\times(a+b)=a^2+2ab+b^2\)
\((a-b)^2=(a-b)\times(a-b)=a^2-2ab+b^2\)
\((a+b)\times(a-b)=(a-b)\times(a+b)=a^2-b^2\)

Le principe

Lorsque tu multiplies 23 par 23, il y a trois chiffres qui apparaissent :

Le 4 vient de \(2\times2\) ;
le 9 vient de \(3\times3\) ;
les deux 6 viennent de \(3\times2\) et \(2\times3\). C’est ce que l’on appelle le double produit.

Si tu poses la multiplication en ligne, tu observes le même phénomène :
\(23\times23=(20+3)\times(20+3)=400+60+60+9=529\)
Le nombre 60 apparait deux fois : \(20\times3\) et \(3\times20\).

Ce double produit peut s’additionner, se soustraire et aussi s’annuler, si tu respectes la règle des signes :

\(23\times23=(20+3)\times(20+3)=20\times20+20\times3+3\times20+3\times3=409+2\times60=529\) \(17\times17=(20-3)\times(20-3)=20\times20-20\times3-3\times20+3\times3=409-2\times60=289\) \(23\times17=(20+3)\times(20-3)=20\times20-20\times3+3\times20-3\times3=391+0\times60=391\)

La liste des premiers carrés

Tu es censé connaitre les treize premiers carrés, de \(0^2=0\) à \(12^2=144\).
Mais comment calculer rapidement les suivants ? Sans calculatrice bien sûr 😊

Comment calculer \(13^2\) à partir de \(12^2\) ?

Tu vas utiliser la troisième identité remarquable, avec \(a=13\) et \(b=12\).

\((13+12)\times(13-12)=13^2-12^2\)

Mais c’est mieux de l’écrire dans l’autre sens :

\(13^2-12^2=(13+12)\times(13-12)\)

\(13^2-144=25\times1\)

\(13^2=144+25=169\)

Et pour calculer \(14^2\) ?

\(14^2-13^2=(14+13)\times(14-13)\)

\(14^2-169=27\times1\)

\(14^2=169+27=196\)

Ensuite tu peux aller plus vite :

\(15^2=14^2+(15+14)\times1=196+29=225\)

\(16^2=15^2+(16+15)\times1=225+31=256\)

etc

Une propriété inattendue découle de ce qui précède : si tu additionnes les premiers entiers impairs, tu obtiens toujours un carré. 😎

1 est le carré de 1
1+3=4 est le carré de 2
1+3+5=9 est le carré de 3
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31=256 est le carré de 16.
etc.

Les carrés des demi-entiers

Quelle est l’aire d’un carré de côté 4,5 cm ? Environ 20 centimètres carrés bien sûr !

Et pour un carré de côté 5,5 cm, un autre de 9,5 cm ?
Un peu plus de 30 centimètres carrés pour le premier, un peu plus de 90 pour le deuxième.

Comment ça marche ?

Observe les exemples ci-dessous. Que remarques-tu ?

\(1{,}5^2\approx1\times2=2\;;\;2{,}5^2\approx2\times3=6\;;\;3{,}5^2\approx3\times4=12\;;\;4{,}5^2\approx4\times5=20\)

Pour obtenir la valeur exacte, il suffit d’ajouter 0,25 !

\(1{,}5^2=2{,}25\;;\;2{,}5^2=6{,}25\;;\;3{,}5^2=12{,}25\;;\;4{,}5^2=20{,}25\)

Démonstration avec une identité remarquable :

Tous ces nombres — 1,5 2,5 3,5 etc. — peuvent s’écrire sous la forme \(n+0{,}5\).
\((n+0{,}5)^2=n^2+2\times0,5\times n+0{,}5^2=n^2+n+0{,}25=n(n+1)+0{,}25\)

Par exemple, pour calculer \(9{,}5^2\), le nombre \(n\) est égal à \(9\), tu obtiens donc \(9{,}5^2=9\times10+0{,}25=90{,}25\)