Comment multiplier deux matrices ?

Le calcul du produit de deux matrices est une technique de base dans l’enseignement supérieur, que ce soit en analyse (suites, fonctions), en probabilités, en algèbre (systèmes d’équations), en informatique (graphes), géométrie (transformations du plan ou de l’espace)…
Le principe est relativement simple, il se décompose en trois temps.

Le produit scalaire

Dans une base orthonormée, le produit scalaire de deux vecteurs du plan se calcule de la façon suivante : \(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=xx’+yy’\).

De même, dans l’espace : \(\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x’\\y’\\z’\end{pmatrix}=xx’+yy’+zz’\).

Exercice : montre que \(\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\1\\5\end{pmatrix}\) est égal à \(1\).

Des vecteurs dans les matrices

Quand tu multiplies deux matrices, tu dois considérer que la première — celle de gauche — contient des vecteurs lignes et que la deuxième contient des vecteurs colonnes.
Tous ces vecteurs doivent avoir la même dimension — généralement 2 ou 3 — afin de pouvoir calculer les produits scalaires.

Exemples

Avec \(m_1=\begin{pmatrix}0&-1\\1&3\\2&-2\end{pmatrix}\) et \(m_2=\begin{pmatrix}0&-1&2\\3&-1&0\end{pmatrix}\) :

• Si tu calcules \(m_1\times m_2\) la première matrice est constituée de trois vecteurs lignes : \(\begin{pmatrix}0&-1\end{pmatrix}\) , \(\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix}2&-2\end{pmatrix}\) alors que la deuxième contient trois vecteurs colonnes \(\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}\).
  Ces 6 vecteurs sont de dimension 2, le calcul est possible.
• Mais si tu calcules \(m_2\times m_1\), il y a deux vecteurs lignes dans \(m_2\) : \(\begin{pmatrix}0&-1&2\end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix}3&-1&0\end{pmatrix}\) alors que \(m_1\) contient deux vecteurs colonnes : \(\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix}-1\\3\\-2\end{pmatrix}\).
  Ces quatre vecteurs sont de dimension 3, le calcul est possible.
• Et \(m_1\times m_1\) ? Cette écriture n’a pas de sens, puisque la première matrice a des vecteurs lignes de dimension 2, alors que la deuxième a des vecteurs colonnes de dimensions 3.
• Même incompatibilité avec \(m_2\times m_2\).

Pourquoi ça ne fonctionne pas : \(\begin{pmatrix}0&-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}=0\times0+(-1)\times1+?\times2\)

Des produits scalaires dans la nouvelle matrice

• Chacun des 3 vecteurs lignes de la matrice \(m_1\) est multiplié par chacun des trois vecteurs colonnes de \(m_2\), ce qui fait \(3\times3=9\) produits scalaires à calculer.
• La nouvelle matrice a 3 lignes comme \(m_1\) et 3 colonnes comme \(m_2\).
• Le schéma ci-dessus  laisse penser que le coefficient en haut à gauche de la nouvelle matrice se calcule avec la première ligne de \(m_1\) et la première colonne de \(m_2\). Effectivement c’est ce que tu vas faire.
• \(0\times0+(-1)\times3=-3\)

Même principe pour les huit autres coefficients

\(0\times(-1)+(-1)\times(-1)=1\)

Après les neuf calculs

À toi de calculer ! Montre que \(m_2\times m_1=\begin{pmatrix}3&-7\\-1&6\end{pmatrix}\)

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