Comment résoudre une équation différentielle ?
En première tu as rencontré une fonction égale à sa dérivée : l’exponentielle.
En terminale est apparue une fonction dont la dérivée est \(x\mapsto{1\over x}\) : le logarithme népérien.
De nombreux modèles mathématiques reposent sur des fonctions définies par leurs dérivées successives.
Pour étudier ces modèles, une méthode s’impose : la résolution d’équations différentielles.
Comment ça marche ? Je te propose de faire le point sur les quatre étapes de résolution de l’équation \(y’=ay+b\).
Les fonctions de base
La fonction exponentielle possède une propriété remarquable : \(\text{exp}’=\text{exp}\).
On en déduit que \(\text{exp}\) est solution de l’équation \(y’=y\).
L’équation est dite “différentielle” car elle utilise une dérivée.
D’une façon générale, la branche des mathématiques qui étudie les dérivées est nommée “calcul différentiel”.
Pour rappel, le nombre dérivé s’obtient par un calcul de différence : \(f'(a)=\lim_{h\to0}{f(a+h)-f(a)\over h}\).
Les fonctions cosinus et sinus peuvent jouer un rôle dès qu’apparait la dérivée seconde.
\(\text{cos}’=-\text{sin}\) et \(\text{sin}’=\text{cos}\) donc \(\text{cos}”=-\text{sin}’=-\text{cos}\) et \(\text{sin}”=\text{cos}’=-\text{sin}\).
\(\text{cos}\) et \(\text{sin}\) sont donc solutions de l’équation différentielle \(y”=-y\)
Première étape : résolution de l’équation \(y’=ay\)
\(x\mapsto e^{ax}\) est solution puisque sa dérivée est \(x\mapsto a e^{ax}\)
Avant d’aller plus loin, assure-toi de maîtriser les dérivées suivantes :
\(\left(x\mapsto e^{2x}\right)’=x\mapsto2e^{2x}\)
\(\left(x\mapsto e^{-3x}\right)’=x\mapsto-3e^{-3x}\)
\(\left(x\mapsto 4e^{5x}\right)’=x\mapsto20e^{5x}\)
\(\left(x\mapsto ke^{-x}\right)’=x\mapsto-ke^{-x}\)
\(x\mapsto k e^{ax}\) est également solution puisque sa dérivée est \(x\mapsto a k e^{ax}\), quelle que soit la valeur de la constante \(k\).
Remarque : en choisissant \(k=1\) on retombe sur la première solution
En cours tu as sans doute démontré qu’il n’y avait pas d’autre solution.
Exemples
- L’équation \(y’=2y\) a pour solution \(x\mapsto k e^{2x}\), où \(k\) est une constante réelle ;
- l’équation \(y’=-y\) a pour solution \(x\mapsto k e^{-x}\), où \(k\) est une constante réelle.
Deuxième étape : une solution de \(y’=ay+b\)
La recherche d’une solution particulière est la partie la plus délicate. On procède souvent par essais successifs.
Pour des équations plus compliquées, l’énoncé te donnera une solution et te demandera de la dériver pour vérifier que l’égalité est correcte.
Mais pour cette équation, il suffit de faire l’hypothèse qu’il existe une solution \(y\) constante.
Ainsi \(y’=0\) et l’équation \(y’=ay+b\) s’écrit alors \(0=ay+b\) et on en déduit la valeur de \(y\).
Exemples
- L’équation \(y’=2y+10\) avec \(y\) constante s’écrit \(0=2y+10\) d’où \(y=-5\) ;
- l’équation \(y’=-y+3\) avec \(y\) constante s’écrit \(0=-y+3\) d’où \(y=3\).
Troisième étape : l’ensemble des solutions
La partie la plus simple.
Il te suffit d’additionner les solutions des deux premières étapes.
Exemples
- L’équation \(y’=2y+10\) a pour solution \(y(x) = k e^{2x} – 5\), où \(k\) est une constante réelle ;
- l’équation \(y’=-y+3\) a pour solution \(y(x) = k e^{-x} + 3\), où \(k\) est une constante réelle.
Quatrième étape : la valeur de la constante k
Étape optionnelle.
Parfois l’énoncé donne une information supplémentaire sur la fonction recherchée, ce qui permet de calculer la valeur de \(k\).
La plupart du temps cette information portera sur la valeur en 0, ce que l’on appelle parfois la condition initiale, en référence à la physique-chimie où les expériences commencent généralement à l’instant \(t=0\).
Exemples
- \(y(x) = k e^{2x} – 5\) implique, si on remplace \(x\) par \(0\), \(y(0)=k e^0 – 5\) ; ce qui se simplifie en \(y(0)=k – 5\) ;
- si l’énoncé donne comme information \(y(0)=4\) tu en déduiras que \(k=9\) ;
- ainsi la solution est \(y(x) = 9 e^{2x} – 5\).
- \(y(x) = k e^{-x} +3 \) implique \(y(0)=k e^0 +3\) ; ce qui se simplifie en \(y(0)=k + 3\) ;
- si l’énoncé donne \(y(0)=1\) tu peux en déduire : \(k=-2\) ;
- ainsi la solution est \(y(x) = -2 e^{2x} + 3\).
Il est important pour cette étape de connaitre \(e^0=1\).
De même que, si des cosinus ou sinus sont nécessaires, \(\cos0=1\) et \(\sin0=0 \)
Entraine-toi avec Klérigo
Les automatismes s’acquièrent par la répétition. L’activité ci-dessous te permet de t’entraîner autant de fois que nécessaire. Pas de difficulté majeure, mais des réflexes à travailler.
