Trouver la bonne primitive

Les intégrales permettent, entre autres, de calculer des aires. C’est une méthode très rapide, qui permet d’obtenir simplement une valeur exacte. Mais, car il y a un mais, tu dois être au point sur les fonctions primitives, seule difficulté de la méthode. Une simple erreur de coefficient et tout le calcul est faux.

Fonctions dérivées

Deux choses à retenir dans la dérivation :

• une fonction est transformée en une autre : le cube devient carré, le logarithme népérien devient inverse, le sinus devient cosinus, etc.
• la fonction est multipliée par un coefficient : 2 pour le carré, 3 pour le cube, -1 pour l’inverse et le cosinus.

Rechercher une primitive va donc se dérouler en deux étapes :

• déterminer la fonction initiale ;
• savoir par quel coefficient tu vas devoir diviser.

Exemples

Donne une primitive de \(x\mapsto {2x^2\over5}\)

1. isole le coefficient : \({2x^2\over5}={2\over5}\times x^2\) ;
2. regarde dans le tableau des dérivées — dans la ligne \(F'(x)\) — où se trouve la fonction carré ;
3. la primitive de base est la fonction cube ;
4. le coefficient multiplicateur est 3 ; tu vas donc devoir diviser par 3 ;
5. conclusion : \(F(x)={2\over5}\times x^3 ÷ 3 = {2x^3\over15}\)

Donne une primitive de \(x\mapsto{2\over5x}\)

1. isole le coefficient : \({2\over5x}={2\over5}\times {1\over x}\) ;
2. regarde dans le tableau des dérivées — dans la ligne \(F'(x)\) — où se trouve la fonction inverse ;
3. la primitive de base est la fonction logarithme népérien ;
4. il n’y a pas de coefficient multiplicateur ;
5. conclusion : \(F(x)={2\over5}\times \ln x = {2\ln x\over5}\)

Donne une primitive de \(x\mapsto{2\over5x^2}\)

1. isole le coefficient : \({2\over5x^2}={2\over5}\times {1\over x^2}\) ;
2. regarde dans le tableau des dérivées — dans la ligne \(F'(x)\) — où se trouve la fonction inverse du carré ;
3. la primitive de base est la fonction inverse ;
4. le coefficient multiplicateur est -1 ; tu vas donc devoir diviser par -1 ;
5. conclusion : \(F(x)={2\over5}\times {1\over x} ÷ (-1) = {-2\over5x}\)

Avec des fonctions composées

Pense à ajouter au tableau des dérivées la colonne suivante :

Lorsque tu dérives \(e^{2x}, \cos{2x}, \sin{2x}\) un autre coefficient fait son apparition (ici 2).
Tu dois le prendre en compte lors de ta recherche de primitive.

Exemples

Donne une primitive de \(x\mapsto {2e^{-3x}\over5}\)

1. isole le coefficient : \({2e^{-3x}\over5}={2\over5}\times e^{-3x}\) ;
2. regarde dans le tableau des dérivées — dans la ligne \(F'(x)\) — où se trouve la fonction exponentielle ;
3. la primitive de base est la fonction exponentielle ;
4. il n’y a pas de coefficient multiplicateur pour l’exponentielle ;
5. le coefficient multiplicateur de la fonction composée est -3 ;
6. tu vas donc devoir diviser par -3 ;
7. conclusion : \(F(x)={2\over5}\times e^{-3x} ÷ (-3) = {-2e^{-3x}\over15}\)

Donne une primitive de \(x\mapsto {2\cos{3x}\over5}\)

1. isole le coefficient : \({2\cos{3x}\over5}={2\over5}\times \cos{3x}\) ;
2. regarde dans le tableau des dérivées — dans la ligne \(F'(x)\) — où se trouve la fonction cosinus ;
3. la primitive de base est la fonction sinus ;
4. il n’y a pas de coefficient multiplicateur pour le sinus ;
5. le coefficient multiplicateur de la fonction composée est 3 ;
6. tu vas donc devoir diviser par 3 ;
7. conclusion : \(F(x)={2\over5}\times \sin{3x} ÷ 3 = {2\sin{3x}\over15}\)

Donne une primitive de \(x\mapsto {2\sin{3x}\over5}\)

1. isole le coefficient : \({2\sin{3x}\over5}={2\over5}\times \sin{3x}\) ;
2. regarde dans le tableau des dérivées — dans la ligne \(F'(x)\) — où se trouve la fonction sinus ;
3. la primitive de base est la fonction cosinus ;
4. le coefficient multiplicateur du cosinus est -1 ;
5. le coefficient multiplicateur de la fonction composée est 3 ;
6. tu vas donc devoir diviser par -3 ;
7. conclusion : \(F(x)={2\over5}\times \cos{3x} ÷ (-3) = {-2\cos{3x}\over15}\)

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