Construis avec ton compas
Un compas sert à construire des cercles. Mais aussi des triangles, des parallélogrammes, des polygones réguliers.… en fait toutes les figures où il faut reporter des longueurs.
Dans cet article, nous allons revoir comment tracer des triangles, des symétriques, des paralléogrammes.
En primaire, des triangles
“Construis le triangle de côtés 5 cm, 6 cm et 7 cm.”
Le premier côté — par exemple 5 cm — peut être construit à la règle. Mais pas les deux autres côtés, car on ne sait pas dans quelle direction orienter la règle.
En traçant les quatre cercles de rayon 6 cm et 7 cm, de centres A et B, l’enfant obtient les quatre triangles possibles.
En pratique le professeur ne demande d’en tracer qu’un car les quatre triangles sont symétriques les uns des autres. En pratique toujours, on ne trace pas les quatre cercles, mais seulement deux ou trois arcs de cercle, à condition de prévoir approximativement où le troisième sommet va se trouver.
Au début l’élève est obligé de tracer des grands arcs, pour être sûr qu’ils se croisent. Avec un peu de pratique, il pourra réduire leurs tailles, ce qui rendra la figure plus lisible.
Un conseil ? Qu’il commence par tracer le plus grand côté. Cela permet de prévoir la place qui va être nécessaire pour le tracé, et évite d’avoir le troisième sommet en dehors de la page… Un autre avantage est de réduire la taille des deux arcs de cercle.
Entraine-toi à tracer des triangles avec Klérigo.
En primaire encore, des symétries
Le programme officiel demance à ce que les élèves sachent se servir de l’équerre pour tracer le symétrique d’un point. Rien n’interdit ensuite de remplacer l’équerre par le compas : plus rapide, plus précis, plus pratique, plus mathématique.
Remarque : en joignant les quatre points on obtient un losange, ce qui permet de faire le lien avec le programme du collège : un losange a quatre côtés égaux (compas) et deux diagonales perpendiculaires (équerre).
Et des symétries sans équerre ni compas ? Klérigo te propose trois exercices de difficultés croissantes.
Au collège, les parallélogrammes
Tu as aimé les triangles isocèles ? Tu vas adorer les parallélogrammes : deux paires de côtés égaux, une symétrie, plein de propriétés. Quadrilatère de base qui permet de redécouvrir les rectangles, losanges, carrés, notamment via leurs diagonales.
Et si le théorème de Pythagore \( AC^2=AB^2+BC^2\) te semble trop simple, lance-toi dans le “super-Pythagore” valable dans tous les parallélogrammes \(AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2\). Attention : hors programme officiel. Dommage, non ?
Tout plein de belles choses à découvrir sur le site de Gérard Villemin.
En attendant, comment je trace un parallélogramme avec mon compas ?
Si trois des sommets du paralléogramme sont donnés, mesure au compas la longueur BE, reporte-là en F, mesure la longueur BF et reporte-la en E. Tu as un quadrilatère dont les côtés opposés ont la même longueur, c’est un parallélogramme.
Si l’énoncé du problème te donne les mesures des côtés ainsi que celle d’une des deux diagonales, tu obtiens les trois premiers sommets du parallélogramme en reprenant la méthode du triangle. Et pour le quatrième sommet ? Regarde la méthode juste au-dessus. Tu auras besoin de deux arcs de cercle supplémentaires.
Tu trouveras ces deux exercices dans l’une des nombreuses activités de Klérigo.
Remarque : voici comment fonctionne la propriété du parallélogramme “super-Pythagore”, à partir de l’illustration ci-dessus.
- diagonales : \(5.3^2+7.9^2=28.09+62.41=90.5\)
- côtés : \(6^2+3^2+6^2+3^2=36+9+36+9=90\)
- pourquoi cette petite différence ? la deuxième diagonale mesure 7.868… mesure que le logiciel a arrondie à 7.9
