Apprends à calculer un produit scalaire

Lycée

Le produit scalaire est un outil fantastique, qui permet entre autres de calculer facilement des angles dans le plan ou l’espace. Mais peut-être te sens-tu un peu perdu(e) dans le cours de maths, avec ses nombreuses propriétés et démonstrations. Ci-dessous un rapide tour d’horizon sur les trois méthodes principales pour mesurer ou calculer un produit scalaire.

Par projection

Un produit scalaire n’est plus ni moins qu’un produit de deux longueurs. Si tu es capable de mesurer, ou calculer, ces deux longueurs, une simple multiplication te donne le résultat.

projection dans un triangle équilatéral — projection dans un quadrillage

Que vaut le produit \(\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{AC}}\) ?

AB est simple à mesurer — 4 carreaux — la sagesse impose alors de projeter \(\overrightarrow{\text{AC}}\) sur \(\overrightarrow{\text{AB}}\) ;
pour projeter C, trace la perpendiculaire à (AB) passant par C ; elle coupe (AB) en D ; D est le projeté de C ;
A appartient à (AB) ; inutile de tracer une perpendiculaire ; le projeté de A est A ;
le nouveau vecteur \(\overrightarrow{\text{AD}}\) a même sens que \(\overrightarrow{\text{AB}}\) ;
tu en déduis \(\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{AC}}=\text{AB}\times\text{AD}\times1=4\times2=8\).

Que vaut le produit \(\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{BC}}\) ?

même principe, mais le nouveau vecteur \(\overrightarrow{\text{BD}}\) est de sens opposé à \(\overrightarrow{\text{AB}}\) ;
tu en déduis \(\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{BC}}=\text{AB}\times\text{BD}\times(-1)=-8\).

Quand utiliser cette méthode ?

dans une figure qui contient de nombreux angles droits, il sera facile de projeter ;
les mesures se déduisent généralement des données de l’énoncé, mais tu auras parfois besoin du théorème de Pythagore.

Un exemple

Dans un énoncé, il est rare que le quadrillage soit fourni. Mais s’il est indiqué “ABCD est un carré de côté 2”, alors rien ne t’interdit de tracer toi-même la grille, comme ci-dessus.

Un rapide Pythagore montre que le triangle a pour hauteur \(\sqrt3\).

Rien qu’avec les 6 segments tracés on peut définir 12 vecteurs, ce qui doit faire, à vue de nez, 78 produit scalaires. Arriveras-tu à tous les calculer par projection ?

Es-tu d’accord avec \(\overrightarrow{\text{KH}}\cdot\overrightarrow{\text{IL}}=-2\sqrt3\) ?

Par cosinus

Une première manière de projeter a été de tracer une droite perpendiculaire et de compter les carreaux. Une deuxième façon est d’utiliser un cosinus.

un angle dans un triangle pour un produit scalaire — MN = 10 et MO = 9 ; peut-on calculer des produits scalaires ?

Comment calculer \(\overrightarrow{\text{MN}}\cdot\overrightarrow{\text{MO}}\) ?

P est le projeté de O sur (MN) mais on ne connait pas directement la longueur MP ;
un peu de trigo de collège montre que \(\text{MP}=9\cos(40°)\approx6,9\) ;
tu en déduis \(\overrightarrow{\text{MN}}\cdot\overrightarrow{\text{MO}}=10\times9\times\cos(40°)\approx69\) ;
plus rapide, la formule du cours donne directement \(\overrightarrow{\text{MN}}\cdot\overrightarrow{\text{MO}}=\text{MN}\times\text{MO}\times\cos(40°)\), inutile donc de tracer la perpendiculaire (OP) ;

Peut-tu aller plus loin et calculer \(\overrightarrow{\text{MN}}\cdot\overrightarrow{\text{ON}}\) ?

par projection, si tu as placé le point P :
- \(\overrightarrow{\text{MN}}\cdot\overrightarrow{\text{ON}}=\text{MN}\times\text{PN}\) ;
- or \(\text{PN}=\text{MN}-\text{MP}\approx10-6.9\approx3.1\) ;
- donc \(\overrightarrow{\text{MN}}\cdot\overrightarrow{\text{ON}}\approx10\times3.1\approx31\) ;
avec la relation de Chasles, souvent très pratique dans les calculs de produits scalaires :
- \(\overrightarrow{\text{MN}}\cdot\overrightarrow{\text{ON}}=\overrightarrow{\text{MN}}\cdot\left(\overrightarrow{\text{OM}}+\overrightarrow{\text{MN}}\right)=\overrightarrow{\text{MN}}\cdot\overrightarrow{\text{OM}}+\overrightarrow{\text{MN}}\cdot\overrightarrow{\text{MN}}\)
- \(\overrightarrow{\text{MN}}\cdot\overrightarrow{\text{ON}}=-\overrightarrow{\text{MN}}\cdot\overrightarrow{\text{MO}}+\overrightarrow{\text{MN}}\cdot\overrightarrow{\text{MN}}\approx-69+100\approx31\)
remarque : la relation de Chasles ne doit pas faire peur, avec l’habitude ce n’est qu’une simple soustraction : au lieu d’écrire \(\text{PN}=\text{MN}-\text{MP}\) dans le segment [MN] on écrit \(\overrightarrow{\text{ON}}=\overrightarrow{\text{MN}}-\overrightarrow{\text{MO}}\) dans le triangle MNO.

Par coordonnées dans une base orthonormée

Tu as compris dès le début de cet article que le produit scalaire avait un rapport avec les quadrillages. Il n’est donc pas étonnant qu’un jour un mathématicien ait eu l’idée d’utiliser les coordonnées des vecteurs.

Des formules existent pour toutes les sortes de quadrillages, qu’ils soient à mailles rectangulaires ou triangulaires, mais la plus simple — et la seule à connaitre au lycée — est la formule de la maille carrée, que l’on appelle plus savamment “base orthonormée”

différents quadrillages — mailles triangulaires équilatérales ou rectangulaires ? moins intéressantes que les carrées

À gauche \(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=xx’+yy’+\large{xy’+x’y\over2}\) ; à droite \(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=4xx’+yy’\).

Finalement, elle est relativement simple la formule \(xx’+yy’\), non ?

Formule simple, mais il faut prendre quelques précautions de rédaction : dire dans quelle base orthonormée tu travailles, si ce n’est pas déjà indiqué dans l’énoncé de l’exercice. Tu devras alors indiquer deux vecteurs orthogonaux (perpendiculaires) dont la norme (longueur) vaut 1.

base orthonormée dans un carré — pas compliqué de proposer une base orthonormée, surtout dans un carré 🙂

Et un repère orthonormé ?

Un repère est une base à laquelle on ajoute un point, dont les coordonnées seront par définition (0 ; 0) et qui servira d’origine pour déterminer les coordonnées de tous les autres points.

Dans la figure ci-dessus :

tu décides que H est l’origine (pour éviter les coordonnées négatives, on choisit généralement le point en bas à gauche de la figure) ;
alors K\((0 ; 2)\) , I\((2 ; 0)\)et L\(\left(1 ; \sqrt3\right)\) ;
tu en déduis \(\overrightarrow{\text{KH}}\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{IL}}\begin{pmatrix}-1\\\sqrt3\end{pmatrix}\) ;
d’où \(\overrightarrow{\text{KH}}\cdot\overrightarrow{\text{IL}}=0\times(-1)+(-2)\times\sqrt3=-2\sqrt3\) ; tiens, ça me dit quelque-chose 😇

En résumé

Trois méthodes, c’est bien, mais c’est souvent trop. Beaucoup d’élèves et d’étudiants bloquent sur les produits scalaires simplement parce qu’ils ne voient pas laquelle des trois méthodes choisir.

si l’exercice te demande d’utiliser un produit scalaire pour démontrer que deux droites sont perpendiculaires, les deux premières méthodes ne te seront sans doute d’aucune utilité, puiqu’elles utilisent un angle droit que tu es censé démontrer 🤪 Privilégie alors la méthode par coordonnées ; mais si aucune base orthonormée n’est évidente, tu seras sans doute obligé d’utiliser la relation de Chasles, qui fera l’objet d’un autre article ;
si l’exercice te demande de calculer un angle, il te faudra utiliser deux méthodes : celle qui utilise le cosinus et, souvent, notamment dans l’espace, celle des coordonnées. Les coordonnées te donneront la valeur du produit scalaire, la formule du cosinus te permettra d’en déduire la valeur du cosinus, donc de l’angle ;
la méthode de projection est utilisable dans quelques figures simples, et est assez élégante ; à toi de voir si tu veux y consacrer un peu de ton temps ;
il existe une quatrième méthode, utilisable dans les triangles : la formule d’Al-Kashi, au programme du lycée, mais pas de cet article 😎

Et Klérigo dans tout ça ?

Les abonnés pourront s’amuser avec l’activité Produit scalaire . Un même produit scalaire peut être calculé plusieurs fois — en mesurant longueurs et angles — afin de vérifier que l’on obtient toujours le même résultat, aux erreurs d’arrondis près.