Être à l'aise avec les angles dans les problèmes de géométrie
Si les angles sont couramment utilisés dans la vie quotidienne — navigation en bateau, en avion, astronomie, plans de bâtiments ou de réseaux, sports (angle de tir, trajectoire, voir par exemple ici) — ils ont un statut particulier en mathématiques, en tant qu’outil de base dans les démonstrations de géométrie.
L’enfant se familiarise assez tôt avec des angles concrets à l’école : équerres 90°/45°/45° ou 90°/60°/30° pour maitriser les angles droits au cycle 2, gabarit en carton pour comparer ou reproduire des angles quelconques au cycle 3. L’utilisation du rapporteur est une petite révolution géométrique : on ne mesure plus les angles avec un triangle, mais avec un cercle.
Mon enfant ne sait pas se servir d’un rapporteur, c’est grave ?
Autant le dire tout de suite : le rapporteur est plus un objet technique qu’un objet mathématique. D’ailleurs les programmes officiels de maths du CP à la 3e ne le mentionnent qu’une seule fois : “Utiliser le rapporteur pour déterminer la mesure en degré d’un angle ou construire un angle de mesure donnée en degrés.”
Comme n’importe quel outil technique, il faut en essayer plusieurs pour trouver celui qui convient le mieux à votre enfant : cercle ou demi-cercle ? graduation dans un sens ou dans les deux ? en degrés uniquement ou aussi en radians, voire en grades ? Sans l’avoir essayé, le rapporteur Recto-Verso, présenté sur le site Au fil des maths et achetable en ligne sur le site de l’inventeur, me semble une très bonne idée pour un élève de cycle 3 (CM, 6e).
Les angles : dans un cercle ou dans des triangles ?
Les deux mon capitaine.
En maths, la notion d’angle est très liée à celle de rotation autour d’un point. Un angle droit est un quart de tour, un angle plat est un demi-tour. Et les rotations sont liées aux triangles isocèles.
D’ailleurs une question à laquelle je n’ai pas la réponse : pourquoi, lorsque le Gps vous demande de faire demi-tour au prochain rond-point, faites-vous un tour complet de ce rond-point ? 😉
Plus sérieusement, la notion d’angle dans un cercle n’apparait pas pour la première fois avec le rapporteur. Lorsque l’enfant apprend à lire l’heure, il découvre déjà qu’un quart d’heure est obtenu en faisant tourner la grande aiguille d’un quart de tour. Un demi-tour pour une demi-heure.
À noter que la plupart des pendules sont graduées tous les 30 degrés pour les heures. 360° divisés par 12 heures donnent 30°/h. Mais il existe aussi des pendules “24h” graduées tous les 15°. Ces pendules sont destinées aux enfants, ou aux personnes souffrant de la maladie d’Alzheimer, afin de créer un lien entre la position de l’aiguille et les différents moments de la journée.
Des angles pour démontrer
Un quart de tour, ce sont deux droites perpendiculaires. Un demi-tour, deux droites parallèles ou trois points alignés. Un sixième de tour c’est un triangle équilatéral.
Des triangles rermarquables
Au collège il faut donc repérer les triangles remarquables qui se trouvent dans des figures plus ou moins complexes. Dès qu’il y a deux segments de même longueur, chercher un triangle isocèle. Un angle droit, penser à un triangle rectangle. Ces triangles remarquables permettent de passer d’un angle à un autre : dans un un triangle isocèle, connaitre un angle c’est connaitre les deux autres ; dans un triangle rectangle, connaitre un des deux angles aigus permet de calculer le deuxième. Et avec certains des angles que l’on vient de calculer, on peut continuer la démonstration (vers des droites parallèles, perpendiculaires…)
Dans la figure ci-dessus, on ne peut pas ne pas voir les deux triangles équilatéraux. Mais il y a également plusieurs triangles isocèles ou rectangles qui vont mener à un angle de 180°, et donc à trois points alignés. Les voyez-vous ?
Des triangles parfois cachés
Pourquoi est-ce si difficile ? Souvent les triangles ne sont que partiellement dessinés, il manque un des trois côtés. Et les élèves de collège, voire de lycée, ne sont pas habitués à compléter des figures. Même chez les adultes, certains ne voient pas qu’un plan de maison est constitué de rectangles. Simplement parce qu’il y a des “trous” dans le plan (ouvertures dans les murs et cloisons).
Il faut donc se forcer un peu, prendre un crayon, tracer des traits, les effacer s’ils sont inutiles pour ne pas surcharger la figure ou s’ils bloquent le besoin de démonstration. Dans la figure ci-dessus, c’est sans doute une très mauvaise idée de tracer le segment [DF]. Le risque est qu’ensuite beaucoup d’élèves répondent : “Oui, D, E, F sont alignés, parce que ça se voit.” ; c’est le blocage.
Une bonne alternative revient à :
- poser la règle là où on voudrait tracer un segment ;
- observer sans tracer ;
- décider si le segment peut servir ou bloquer ;
- éventuellement tracer le segment.
Pour en revenir à la figure ci-dessus, en posant votre règle sur l’écran, vous verrez que les points D, E, F semblent alignés. Mais peut-être verrez-vous également les deux triangles isocèles qui vont servir à la démonstration. Non ? Et pourtant 🙂
S’entrainer avec des triangles isocèles et des triangles rectangles
Je le répète assez souvent, mais j’insiste encore. Les outils mathématiques sont comme les outils du menuisier ou de l’électricien. C’est à force de les utiliser que l’on sait si on va avoir besoin du marteau ou du tournevis. Il y a plusieurs méthodes pour accrocher un cadre au mur, mais certaines sont plus efficaces que d’autres.
En maths les démonstrations avec les angles — triangles, rotations — sont souvent très efficaces et nécessitent peu de calculs, mais semblent peu naturelles. Le premier réflexe revient souvent à prendre sa règle et mesurer des longueurs, passer par Pythagore ou Thalès. Pourquoi pas ? dommage de ne pas essayer plus simple 😉
Klérigo propose à ses abonnés une petite activité simple pour acquérir le réflexe de finir la construction de triangles particuliers puis d’en calculer les angles. C’est ici : Angles et triangle .
Une aide à la démonstration du problème d’alignement présenté ci-dessus est également accessible en cliquant ici : Alignement .
