Tableaux de signe et inéquations

Lycée

Le tableau de signes est un outil fréquememnt utilisé au lycée. Il permet de résoudre des inéquations, de déterminer les variations d’une fonction, ou encore d’étudier la position d’une courbe par rapport à une autre.
Mais avant de songer à maitriser les études de signes, retour en arrière sur les fonctions affines vues au collège.

Les fonctions affines et leurs signes

Une fonction affine a pour expression générale \(ax+b\).
Quelques exemples : \(3x+2\;;\;-5x+7\;;\;x-2\;;\;4x\).

Ces fonctions sont représentées par des droites.

fonctions affines representées par des droites — Sauras-tu associer chaque droite à l’un des exemples ?

Les droites qui montent de la gauche vers la droite représentent des fonctions strictement croissantes, celles qui descendent sont la réprésentation de fonctions strictement décroissantes.

Des tableaux de valeurs simples

tableau de valeurs de fonctiosn affines — Parmi ces quatre fonctions, laquelle est décroissante ?

Principe à retenir dans le tableau ci-dessus :

si une fonction est croissante, ses valeurs sont d’abord négatives, augmentent, et deviennent positives
si une fonction est décroissante, c’est l’inverse ; les valeurs sont d’abord positives (12, 7, 2), diminuent, et deviennent négatives (-3, -8).

Premiers tableaux de signes

valeurs remplacées par leurs signes — Les signes ont remplacé les valeurs

Dans un tableau de signes, on s’attend à voir des “+”, des “-” mais aussi des “0”. Il faut parfois résoudre des équations pour trouver ces “zéros” :

\(3x+2=0\iff3x=-2\iff x=-{\large{2\over3}}\)
\(-5x+7=0\iff-5x=-7\iff x=1.4\)

Des tableaux de signe à remplir (presque) de tête

Comment fait-on en pratique ?

je dois étudier le signe de 3x+2
je remarque que le coefficient directeur (le coefficient de x, ici il vaut 3) est positif, donc la droite monte (de 3) quand je me déplace (de 1) de la gauche vers la droite
j’en déduis que la fonction est strictement croissante
3x+2 va donc prendre des valeurs d’abord négatives, puis positives
3x+2 s’annule en -2/3 (de tête, ou en résolvant l’équation 3x+2=0)
je n’ai plus qu’à regrouper ces résultats dans un tableau

C’est tout ? c’est tout !

trois tableaux de signes — Tableaux de signes des trois autres exemples. Quelle est la fonction décroissante ?

Inéquations et signes

Au collège tu as appris à résoudre des équations, voire des inéquations, en “isolant l’inconnue (x)”.

une inéquation de base — Il n’y a qu’un “x”, facile de l’isoler !

La méthode est efficace… à condition de pouvoir isoler l’inconnue.

Et là, comment isoles-tu le “x”‘ ?

C’est pour résoudre ce genre de problème que les tableaux de signes sont utilisés.
Le principe : dire qu’un nombre est plus grand que zéro revient à dire que ce nombre est positif. On vient de transformer la résolution d’une inéquation (plus grand que zéro) en une étude de signe (positif).

La règle des signes

Tu connais déjà :

\(\oplus\times\oplus=\oplus\) : un nombre positif multiplié par un nombre positif donne un nombre positif
\(\oplus\times\ominus=\ominus\)
\(\ominus\times\oplus=\ominus\)
\(\oplus\times\oplus=\oplus\)

Même principe avec les divisions :

\({\large{\oplus\over\oplus}}=\oplus\) : un nombre positif divisé par un nombre positif donne un nombre positif
\({\large{\oplus\over\ominus}}=\ominus\)
\({\large{\ominus\over\oplus}}=\ominus\)
\({\large{\ominus\over\ominus}}=\oplus\)

Et avec le zéro :

\(\oplus\times0=\ominus\times0=0\times\oplus=0\times\ominus=0\)
\({\large{0\over\oplus}}={\large{0\over\ominus}}=0\)
la division par zéro n’est pas définie : \({\large{\oplus\over0}}=?\;{\large{\ominus\over0}}=?\;{\large{0\over0}}=?\)

La forme factorisée

La règle des signes ne concerne que les multiplications et les divisions, mais pas les additions, ni les soustractions. Tu vas donc devoir souvent factoriser pour transformer additions en multiplications.

Rechercher le signe de \(3x^2+8x\) est plus simple après factorisation : \(x(3x+8)\). Deux fonctions affines sont mises en évidence. Il n’y a plus qu’à appliquer la méthode vue plus haut:

x a pour coefficient directeur 1 (x=1x) donc la fonction est strictement croissante et ses valeurs sont négatives avant d’être positives ;
3x+8 a pour coefficient directeur 3 ; mêmes conclusions que ci-dessus ;
x s’annule en 0 (mais oui 🙂 ) et 3x+8 s’annule en -8/3.

deux tableaux de signes — Tableaux de signes des deux fonctions affines

Il faut encore regrouper les deux tableaux en un seul. Attention à l’ordre des valeurs de x : -8/3 est plus petit que 0, il faut l’écrire à gauche. Tu dois aussi respecter l’ordre “négatif puis nul puis positif” pour les fonctions croissantes. Pour une fonction décroissante ce serait “positif puis nul puis négatif”.

Forme factorisée, fonctions affines, règle des signes : tout dans un tableau

tableau de signe d'un produit avec inéquation — Tableau de signes d’un produit et inéquation dans le même tableau. Méthode efficace, non ?

Même principe pour les inéquations “quotient” : faire apparaitre des fonctions affines, étudier le signe de ces fonctions, appliquer la règle des signes, lire les solutions de l’inéquation dans les premiere et dernière lignes.

tableau de signe d'un quotient avec inéquation — Remarque la double barre qui indique une valeur interdite (division par zéro)

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Comme la plupart des nouvelles méthodes rencontrées au collège ou au lycée, celle-ci demande un peu de temps et d’entrainement pour être maitrisée. Mais une fois acquise, quel bonheur ! Elle permet de démontrer des résultats complexes avec un minimum de temps et de calcul.

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