Intersections dans l'espace

Lycée

Les droites, plans et sphères sont définies par des équations.
Rechercher les intersections revient donc à résoudre un système d’équations.
Trouve ici les principales méthodes de résolution d’intersections en géométrie dans l’espace.

Le plus facile : intersection d’une droite et d’un plan

Les coordonnées des points de la droite sont obtenues en faisant varier un paramètre \(t\).

exemple : \(\begin{cases}x=1-t\\y=3+t\\z=-4-2t\end{cases}\;\text{avec}\;t\in\mathbf{R}\)

Les coordonnées des points du plan sont reliées entre elles par une équation.

exemple : \(3x-2y-4z-4=0\)

La méthode la plus efficace pour résoudre le système de ces quatre équations est la substitution :

remplacer \(x,\,y,\,z\) par leurs expressions en \(t\) dans l’équation du plan ;
en déduire la valeur de \(t\) ;
remplacer \(t\) par sa valeur pour obtenir celles des coordonnées.

exemple :

\(3x-2y-4z-4=0\iff3(1-t)-2(3+t)-4(-4-2t)-4=0\iff9+3t=0\iff t=-3\)

\(x=1-(-3)=4\)

\(y=3+(-3)=0\)

\(z=-4-2\times(-3)=2\)

conclusion : le point d’intersection a pour coordonnées \((4;0;2)\)

Intersection d’une droite et d’une sphère : équations du second degré

La sphère de centre \(C(a\;;\;b\;;\;c)\) et de rayon \(R\) a pour équation \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\).

exemple : \((x-2)^2+(y+3)^2+z^2=7\) est l’équation de la sphère de centre \(C(2\;;\;-3\;;\;0)\) et de rayon \(\sqrt7\)

Remarque : l’équation du cercle dans le plan est \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\), qui n’est rien d’autre qu’une conséquence du théorème de Pythagore.

La méthode de substitution utilisée avec la droite et le plan s’applique ici aussi mais aboutit à une équation du second degré.

exemple avec la droite \(D:\begin{cases}x=1-t\\y=-1-t\\z=3\end{cases}\) et la sphère \(S:x^2+(y+3)^2+(z-3)^2=1\) :

après substitution l’équation de la sphère s’écrit \((1-t)^2+(2-t)^2+0^2=1\)

développement : \(2t^2-6t+4=0\)

simplification : \(t^2-3t+2=0\)

résolution : \(t=1\) ou \(t=2\)

conclusion : le premier point d’intersection est \(A(0;-2;3)\), le deuxième est \(B(-1;-3;3)\)

Intersection de deux droites : trois équations à deux inconnues

Dans le plan, deux droites non parallèles se coupent en un point.
Dans l’espace ce n’est pas forcément le cas. Et heureusement ! sinon il y aurait beaucoup de collisions d’avions dans le ciel.

Rechercher le point d’intersection de deux droites revient à résoudre un système de trois équations à deux inconnues.
À priori c’est une équation de trop !
Tu devras donc en choisir deux pour résoudre le système. La troisième indiquera s’il y a ou non un point d’intersection.

exemple : \(D_1 : \begin{cases}x=1+2t\\y=3+t\\z=-4+5t\end{cases}\) et \(D_2 : \begin{cases}x=1+t’\\y=t’\\z=-1+2t’\end{cases}\)

Attention ! le point d’intersection a les mêmes coordonnées \(x\), \(y\) et \(z\) sur les deux droites, mais pas le même paramètre.
Tu dois donc utiliser deux lettres différentes pour le paramètre ; par exemple \(t\) et \(t’\).

en identifiant les inconnues \(x\) des deux droites, tu obtiens l’équation \(1+2t=1+t’\)

en faisant de même avec \(y\) et \(z\), tu as \(3+t=t’\) et \(-4+5t=-1+2t’\)

d’où le système : \(\begin{cases}2t-t’=0\\t-t’=-3\\5t-2t’=3\end{cases}\)

choisis deux équations qui te semblent plus simples que la troisième : \(\begin{cases}2t-t’=0\\t-t’=-3\end{cases}\)

ce système a pour solution \(t=3\) et \(t’=6\)

Attention ! ne remplace pas tout de suite \(t\) et \(t’\) par leurs valeurs dans les systèmes des droites \(D_1\) et \(D_2\)
Tu risques de rencontrer des incohérences, du type \(z=1\) pour une droite et \(z=2\) pour l’autre.

vérifie que la troisième équation \(5t-2t’=3\) accepte la solution \(t=3\) et \(t’=6\)

c’est bien le cas ici, tu peux en déduire que le système de trois équations admet une solution

conclusion : les deux droites se coupent en un point

ce point est obtenu en remplaçant soit \(t\) par 3 dans le système de \(D_1\), soit \(t’\) par 6 dans le système de \(D_2\)

résultat final : le point d’intersection a pour coordonnées \((7;6;11)\)

Intersection de deux plans : deux équations à trois inconnues

Deux plans non parallèles se coupent selon une droite.
Tu vas donc devoir exprimer deux variables en fonction d’une autre, avant de passer à une des représentations paramétriques de la droite.

exemple avec les plans \(P_1 : 3x-y+2=0\) et \(P_2 : 2x+z-5=0\)

le système \(\begin{cases}3x-y+2=0\\2x+z-5=0\end{cases}\) est équivalent à \(\begin{cases}y=2+3x\\z=5-2x\end{cases}\)

introduction du paramètre \(t\) : tu poses \(t=x\)

tu en déduis le système à trois variables et un paramètre, qui caractérise les droites de l’espace : \(\begin{cases}x=t\\y=2+3t\\z=5-2t\end{cases}\)

cette droite passe par le point \(A(0;2;5)\) et est dirigée par le vecteur \(\vec{u}(1;3;-2)\)

Les calculs ne sont généralement pas aussi simple, et tu dois maitriser la résolution de systèmes par combinaison.

exemple avec les plans \(P_3 : 2x-y-2z+2=0\) et \(P_4 : x-y+3z-4=0\)

le système s’écrit \(\begin{cases}y+2z=2+2x\\y-3z=-4+x\end{cases}\)

soustrais les deux équations : tu obtiens \(5z=6+x\)

additionne trois fois la première avec deux fois la deuxième : \(5y=-2+8x\)

tu en déduis \(z={6\over5}+{x\over5}\) et \(y=-{2\over5}+8{x\over5}\)

introduction du paramètre : pose \(t={x\over5}\), plus intéressant ici que \(t=x\)

tu en déduis le système à trois variables et un paramètre : \(\begin{cases}x=5t\\y=-0.4+8t\\z=1.2+t\end{cases}\)

conclusion : la droite d’intersection \(D=P_3\cap P_4\) passe par le point \(A(0;-0.4;1.2)\) et est dirigée par le vecteur \(\vec{u}(5;8;1)\)

Exercice :

Reprends l’exemple précédent, mais au lieu d’exprimer \(y\) et \(z\) en fonction de \(x\), exprime \(x\) et \(y\) en fonction de \(z\), puis montre que la droite admet pour représentation paramétrique \(\begin{cases}x=-6+5t\\y=-10+8t\\z=t\end{cases}\).

Remarque : chaque droite passe par une infinité de points ; il est donc normal d’obtenir plusieurs représentations paramétriques pour une même droite.

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Les exercices sur l’intersection d’une droite et d’un plan, d’une droite et d’une sphère, de deux droites, de deux plans sont en ligne :