Spé maths 16 juin 2026 exercice 1 — probabilités
🎓 Corrigé Bac Maths 2026 : Probabilités et Navires (Exercice 1 – Mardi)
Dans cet exercice de Spécialité Mathématiques, nous analysons les habitudes de réservation d’une famille sur un ferry en Méditerranée (Partie A), avant d’étudier les coûts associés via des variables aléatoires et l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev (Partie B).
Partie A : Probabilités conditionnelles
On note les événements :
- \(V\) : « la famille réserve un emplacement pour un véhicule ».
- \(C\) : « la famille réserve une cabine ».
Les données de l’énoncé sont :
- \(P(V) = 0,30\).
- \(P_V(C) = 0,80\) (parmi ceux qui ont un véhicule, 80% ont une cabine).
- \(P(C) = 0,75\) (au total).
1. Arbre pondéré et probabilités de base
a. Probabilité de C :
Donnée directement dans l’énoncé : \(P(C) = 0,75\).
b. Complétion de l’arbre :
Nous pouvons déduire les probabilités manquantes :
- \(P(\overline{V}) = 1 – P(V) = 1 – 0,30 = 0,70\).
- \(P_V(\overline{C}) = 1 – P_V(C) = 1 – 0,80 = 0,20\).
Les autres branches (\(P_{\overline{V}}(C)\) et \(P_{\overline{V}}(\overline{C})\)) seront calculées plus loin.
2. Probabilité de l’intersection
Calculons la probabilité qu’une famille réserve un véhicule et une cabine (\(V \cap C\)) :
\(P(V \cap C) = P(V) \times P_V(C) = 0,30 \times 0,80 = 0,24\)Résultat : La probabilité est de 0,24.
3. Probabilité conditionnelle inversée
On cherche la probabilité qu’une famille ait réservé un véhicule sachant qu’elle a réservé une cabine : \(P_C(V)\).
\(P_C(V) = {\large\frac{P(V \cap C)}{P(C)}} = {\large\frac{0,24}{0,75}} = {\large\frac{24}{75}} = {\large\frac{8}{25}} = 0,32\)Résultat : La probabilité est de 0,32.
4. Calcul de \(P_{\overline{V}}(C)\) et interprétation
Pour trouver cette probabilité, nous avons besoin de \(P(\overline{V} \cap C)\). Utilisons la formule des probabilités totales sur \(C\) :
\(P(C) = P(V \cap C) + P(\overline{V} \cap C)\) \(0,75 = 0,24 + P(\overline{V} \cap C) \iff P(\overline{V} \cap C) = 0,51\)Maintenant, calculons la probabilité conditionnelle :
\(P_{\overline{V}}(C) = {\large\frac{P(\overline{V} \cap C)}{P(\overline{V})}} = {\large\frac{0,51}{0,70}} = {\large\frac{51}{70}} \approx 0,73\) (arrondi à \(10^{-2}\)).
🗣️ Interprétation
Cela signifie que parmi les familles n’ayant PAS réservé de véhicule, environ 73 % ont tout de même réservé une cabine. La cabine est donc très populaire, même pour les passagers sans voiture.
Partie B : Variables aléatoires et Espérance
On note \(X\) le prix des suppléments (cabine + véhicule) et \(Y\) le prix des extras.
Loi de \(X\) donnée :
- \(P(X=0) = 0,19\)
- \(P(X=70) = 0,06\)
- \(P(X=100) = 0,51\)
- \(P(X=170) = 0,24\)
Pour \(Y\), on sait que \(E(Y) = 104\) et \(V(Y) = 1686\).
1. Espérance et Variance de X
Calcul de l’espérance \(E(X)\) :
\(E(X) = 0 \times 0,19 + 70 \times 0,06 + 100 \times 0,51 + 170 \times 0,24\) \(E(X) = 0 + 4,2 + 51 + 40,8 = 96\)Calcul de la variance \(V(X)\) :
D’abord \(E(X^2)\) :
\(E(X^2) = 0^2 \times 0,19 + 70^2 \times 0,06 + 100^2 \times 0,51 + 170^2 \times 0,24\) \(E(X^2) = 0 + 294 + 5100 + 6936 = 12330\)Puis \(V(X) = E(X^2) – [E(X)]^2\) :
\(V(X) = 12330 – 96^2 = 12330 – 9216 = 3114\)Résultat : \(E(X) = 96\) et \(V(X) = 3114\).
2. Remise exceptionnelle de 40 %
On note \(Z\) le prix total payé après remise. Le nouveau prix est 60 % du prix initial (\(X+Y\)).
a. Justification de la formule
Une remise de 40 % signifie que le client paie \(100\% – 40\% = 60\%\) du prix. Donc :
\(Z = 0,6(X + Y)\)b. Espérance et Variance de Z
Espérance : Par linéarité (et indépendance de X et Y pour l’espérance) :
\(E(Z) = 0,6 \times (E(X) + E(Y)) = 0,6 \times (96 + 104) = 0,6 \times 200 = 120\)Variance : Comme \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, \(V(X+Y) = V(X) + V(Y)\). De plus, \(V(aX) = a^2 V(X)\).
\(V(Z) = 0,6^2 \times (V(X) + V(Y)) = 0,36 \times (3114 + 1686)\) \(V(Z) = 0,36 \times 4800 = 1728\)Résultat : \(E(Z) = 120\) et \(V(Z) = 1728\).
3. Échantillonnage et Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
On considère un échantillon de \(n\) familles et la moyenne \(M_n = {\large\frac{Z_1 + \dots + Z_n}{n}}\).
a. Espérance et Variance de \(M_n\)
Les variables \(Z_i\) sont indépendantes et de même loi que \(Z\).
- \(E(M_n) = E(Z) = 120\).
- \(V(M_n) = {\large\frac{V(Z)}{n}} = {\large\frac{1728}{n}}\).
b. Application de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev
On cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(P(114 < M_n < 126) \geq 0,85\).
L’intervalle est centré sur l’espérance \(120\). L’écart est \(\epsilon = 126 – 120 = 6\).
L’inégalité stipule : \(P(|M_n – E(M_n)| < \epsilon) \geq 1 – {\large\frac{V(M_n)}{\epsilon^2}}\).
Nous voulons :
\(1 – {\large\frac{1728/n}{6^2}} \geq 0,85\) \(\iff 1 – {\large\frac{1728}{36n}} \geq 0,85\) \(\iff 0,15 \geq {\large\frac{48}{n}}\) \(\iff n \geq {\large\frac{48}{0,15}} = 320\)Résultat : Il faut choisir un échantillon d’au moins 320 familles.
🗣️ Interprétation
Avec un échantillon de 320 familles, on peut affirmer avec une certitude d’au moins 85 % que le prix moyen payé par famille (après remise) sera compris entre 114 € et 126 €.
