Spé maths 16 juin 2026 exercice 2 — vrai faux
🎓 Corrigé Bac Maths 2026 : Vrai ou Faux (Exercice 2 – Mardi)
Dans cet exercice, nous devons valider ou infirmer quatre affirmations concernant la géométrie dans l’espace et un problème de dénombrement dans un “Escape Game”.
Affirmation 1 : Géométrie (Plan et Droite)
Énoncé : Le plan \((P)\) d’équation \(-x + y – 5z – 0,5 = 0\) est orthogonal à la droite \((AB)\) et passe par le milieu de \([AB]\).
Points : \(A(3; 0; 2)\) et \(B(2; 1; -3)\).
Analyse :
- Orthogonalité :
- Un vecteur normal au plan \((P)\) est \(\overrightarrow{n}(-1; 1; -5)\).
- Un vecteur directeur de la droite \((AB)\) est \(\overrightarrow{AB}(2-3; 1-0; -3-2) = (-1; 1; -5)\).
- Les vecteurs \(\overrightarrow{n}\) et \(\overrightarrow{AB}\) sont identiques, donc colinéaires. La droite est bien orthogonale au plan.
- Appartenance du milieu :
- Milieu \(I\) de \([AB]\) : \(x_I = {\large\frac{3+2}{2}} = 2,5\) ; \(y_I = {\large\frac{0+1}{2}} = 0,5\) ; \(z_I = {\large\frac{2-3}{2}} = -0,5\).
- Vérifions si \(I\) vérifie l’équation du plan :
\(-2,5 + 0,5 – 5(-0,5) – 0,5 = -2,5 + 0,5 + 2,5 – 0,5 = 0\). - L’égalité est vraie, le milieu appartient au plan.
Conclusion : L’affirmation est VRAIE.
Affirmation 2 : Intersection de droites
Énoncé : Les droites \((d)\) et \((AB)\) sont sécantes.
Représentation paramétrique de \((d)\) : \(x=t, y=-1,5-t, z=2-2t\).
La droite \((AB)\) est définie par \(A(3;0;2)\) et \(\overrightarrow{AB}(-1;1;5)\).
Analyse :
Une représentation paramétrique de la droite \((AB)\) est :
\(\begin{cases} x = 3 – k \\ y = 0 + k \\ z = 2 – 5k \end{cases}, k\in R\)Les droites sont-elles sécantes ? Cherchons une intersection en résolvant le système :
\(\begin{cases} t = 3 – k \\ -1,5 – t = k \\ 2 – 2t = 2 – 5k \end{cases}\)La somme des deux premières équations s’écrit \(-1,5=3\).
Le système n’a pas de solution. Les droites ne sont pas sécantes.
Conclusion : L’affirmation est FAUSSE.
Affirmation 3 : Mesure d’un angle
Énoncé : La mesure de l’angle \(\widehat{ACB}\) est égale à \(70,5^\circ\) (arrondi à \(10^{-1}\)).
Point \(C(1,5; -3; -1)\).
Analyse :
Calculons les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{CA}\) et \(\overrightarrow{CB}\) :
- \(\overrightarrow{CA} (3-1,5; 0-(-3); 2-(-1)) = (1,5; 3; 3)\)
- \(\overrightarrow{CB} (2-1,5; 1-(-3); -3-(-1)) = (0,5; 4; -2)\)
Calcul du produit scalaire :
\(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 1,5 \times 0,5 + 3 \times 4 + 3 \times (-2) = 0,75 + 12 – 6 = 6,75\)Calcul des normes :
- \(||\overrightarrow{CA}|| = \sqrt{1,5^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{2,25 + 9 + 9} = \sqrt{20,25} = 4,5\)
- \(||\overrightarrow{CB}|| = \sqrt{0,5^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{0,25 + 16 + 4} = \sqrt{20,25} = 4,5\)
Calcul du cosinus de l’angle :
\(\cos(\widehat{ACB}) = {\large\frac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}}{||\overrightarrow{CA}|| \times ||\overrightarrow{CB}||}} = {\large\frac{6,75}{4,5 \times 4,5}} = {\large\frac{6,75}{20,25}} = {\large\frac{1}{3}}\)Calcul de l’angle :
\(\widehat{ACB} = \arccos(1/3) = 70,528…^\circ\)Arrondi à \(10^{-1}\) : \(70,5^\circ\).
Conclusion : L’affirmation est VRAIE.
Affirmation 4 : Dénombrement (Escape Game)
Énoncé : Titouan a plus de chances d’ouvrir sa porte que Clotilde.
Contexte : 8 symboles disponibles.
- Porte A (Clotilde) : Code de 3 symboles différents, ordre important.
- Porte B (Titouan) : Code de 4 symboles différents, ordre indifférent.
Analyse :
Calculons le nombre de codes possibles pour chacun (cas favorables = 1 code unique à trouver) :
- Clotilde (Arrangements) : Choisir 3 symboles parmi 8 et les ordonner.
\(N_A = 8 \times 7 \times 6 = 336\).
Probabilité de réussir : \(P(A) = {\large\frac{1}{336}}\). - Titouan (Combinaisons) : Choisir 4 symboles parmi 8 sans ordre.
\(N_B = \left(\begin{array}{c} 8 \\ 4 \end{array}\right) = {\large\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1}} = 70\).
Probabilité de réussir : \(P(B) = {\large\frac{1}{70}}\).
Comparaison :
\({\large\frac{1}{70}} > {\large\frac{1}{336}}\). Titouan a une probabilité de réussite plus élevée.
Conclusion : L’affirmation est VRAIE.
Récapitulatif des réponses
- Affirmation 1 : VRAI
- Affirmation 2 : FAUX
- Affirmation 3 : VRAI
- Affirmation 4 : VRAI
