Spé maths 16 juin 2026 exercice 3 — équation différentielle et suite
🎓 Corrigé Bac Maths 2026 : Chauffage et Refroidissement (Exercice 3 – Mardi)
Dans cet exercice, nous modélisons la température d’une pièce lors de deux phases distinctes : le chauffage (modèle continu) et le refroidissement (modèle discret), avant de programmer le déclenchement du système.
Partie A : Phase de chauffage
La température \(T(t)\) (en °C) est solution de l’équation différentielle \((E) : y’ = -0,035y + 0,91\), avec \(T(0) = 18\). Le temps \(t\) est en dizaines de minutes.
1. Solutions de l’équation différentielle
L’équation est de la forme \(y’ = ay + b\) avec \(a = -0,035\) et \(b = 0,91\).
Les solutions générales sont de la forme \(y(t) = K e^{at} – {\large\frac{b}{a}}\).
Calcul de la constante : \(-{\large\frac{b}{a}} = -{\large\frac{0,91}{-0,035}} = {\large\frac{0,91}{0,035}} = 26\).
Résultat : Les solutions sont les fonctions \(T(t) = K e^{-0,035t} + 26\), où \(K\) est un réel.
2. Solution particulière
On utilise la condition initiale \(T(0) = 18\) :
\(T(0) = K e^0 + 26 = K + 26 = 18 \Rightarrow K = 18 – 26 = -8\).
Résultat : Pour tout \(t \geq 0\), \(T(t) = 26 – 8e^{-0,035t}\).
3. Temps pour atteindre 20°C
On résout l’inéquation \(T(t) \geq 20\) :
\(26 – 8e^{-0,035t} \geq 20\) \(\iff 6 \geq 8e^{-0,035t}\) \(\iff e^{-0,035t} \leq {\large\frac{6}{8}} = 0,75\)En appliquant le logarithme népérien (croissant) :
\(-0,035t \leq \ln(0,75)\) \(\iff t \geq {\large\frac{\ln(0,75)}{-0,035}}\)Calcul : \({\large\frac{\ln(0,75)}{-0,035}} \approx 8,22\).
Le temps est en dizaines de minutes : \(8,22 \times 10 = 82,2\) minutes.
Conversion : 82 minutes = 1 heure et 22 minutes.
Résultat : La pièce atteint 20°C au bout d’une heure et 22 minutes.
4. La température peut-elle dépasser 28°C ?
Étudions la limite de \(T(t)\) en \(+\infty\) :
Comme \(\lim_{t \to +\infty} e^{-0,035t} = 0\), alors \(\lim_{t \to +\infty} T(t) = 26\).
De plus, la fonction est strictement croissante (car \(T'(t) = -8 \times (-0,035)e^{-0,035t} > 0\)).
La température se rapproche de 26°C sans jamais l’atteindre, et reste toujours inférieure à 26.
Conclusion : Non, la température ne pourra jamais dépasser 28°C (ni même 26°C).
Partie B : Phase de refroidissement
La température est modélisée par la suite \((u_n)\) avec \(u_0 = 20\) et \(u_{n+1} = 0,965u_n + 0,35 + 0,07e^{-0,1n}\).
1. Calcul de \(u_1\)
\(u_1 = 0,965 \times u_0 + 0,35 + 0,07e^{0}\)\(u_1 = 0,965 \times 20 + 0,35 + 0,07 = 19,3 + 0,42 = 19,72\).
Résultat : \(u_1 = 19,72\).
2. Récurrence : \(u_n > 10\)
Initialisation : \(u_0 = 20 > 10\). Vrai.
Hérédité : Supposons \(u_n > 10\).
\(u_{n+1} = 0,965u_n + 0,35 + 0,07e^{-0,1n}\).
Comme \(e^{-0,1n} > 0\), alors \(u_{n+1} > 0,965u_n + 0,35\).
Si \(u_n > 10\), alors \(0,965u_n > 9,65\).
Donc \(u_{n+1} > 9,65 + 0,35 = 10\).
La propriété est héréditaire.
Conclusion : Pour tout \(n\), \(u_n > 10\).
3. Convergence de la suite
L’énoncé admet que la suite est décroissante.
Nous venons de démontrer qu’elle est minorée par 10.
Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Conclusion : La suite \((u_n)\) est convergente.
4. Limite de la suite
a. Équation de la limite
Soit \(\ell\) la limite. Quand \(n \to +\infty\), \(u_{n+1} \to \ell\), \(u_n \to \ell\) et \(e^{-0,1n} \to 0\).
L’équation de récurrence devient : \(\ell = 0,965\ell + 0,35 + 0\).
Résultat : \(\ell\) est solution de \(x = 0,965x + 0,35\).
b. Calcul et interprétation
\(\ell – 0,965\ell = 0,35 \iff 0,035\ell = 0,35 \iff \ell = {\large\frac{0,35}{0,035}} = 10\).
Interprétation : Sur le long terme, la température de la pièce se stabilisera à 10°C (température d’équilibre sans chauffage).
5. Algorithme Python
a. Complétion du programme
Le système se remet en marche quand la température devient \(\leq 18\). La boucle doit tourner tant que la température est strictement supérieure à 18.
def marche() : n = 0 u = 20 while u > 18 : u = 0.965 * u + 0.35 + 0.07 * exp(-0.1 * n) n = n + 1 return n
b. Détermination du temps
En exécutant l’algorithme (ou par calculs successifs) :
- \(u_0 = 20\)
- \(u_1 = 19,72\)
- …
- On trouve que \(u_{10} \approx 18,1\) et \(u_{11} \approx 17,9\).
La condition \(u \leq 18\) est franchie au rang \(n = 11\).
Le temps est en dizaines de minutes.
Résultat : Le chauffage se remettra en marche au bout de 11 dizaines de minutes (soit 1h50).
