Deviens incollable sur la factorisation

Factoriser c’est écrire un nombre sous la forme d’une multiplication.

Au collège tu as appris à factoriser à l’aide de deux techniques de base : facteur commun \(k\times(a+b)\), identité remarquable \((a-b)\times(a+b)\).
Tu auras besoin d’approfondir ces techniques pendant tes années de lycées, que ce soit pour résoudre des équations ou pour étudier des fonctions.

Besoin de réviser et de t’entrainer ? Dans cet article, je partage avec toi quelques conseils pour devenir incollable sur la factorisation d’une expression. Enfin, tu trouveras en fin d’article des propositions d’activités et exercices interactifs sur Klérigo. Car pour progresser, pas de secret, il faut s’entrainer !

Les problèmes fréquents pour factoriser une expression

Même si tu sais développer correctement, tu peux avoir des problèmes pour factoriser :

• il est beaucoup plus naturel de développer, c’est-à-dire de passer de \(3x\times(2x-5)\) à \(6x^2-15x\) que l’inverse ;
• il n’y a pas une forme factorisée mais plusieurs, comment choisir la plus pertinente ? 12 est égal à 3 x 4 , mais pourquoi pas à 2 x 6 ?
• il y a également plusieurs techniques de factorisation, et parfois il faut en utiliser différentes dans le même exercice, mais dans quel ordre ?

Mes conseils pour mettre en facteurs

Faire simple

Le cerveau travaille plus vite avec des petits nombres.
Selon toi, quelle est l’équation la plus simple à résoudre : \(6x-15=0\) ou \(2x-5=0\) ?
La première a pour solution \(x={15\over6}\) qu’il faut ensuite penser à simplifier en divisant par 3 le numérateur et le dénominateur. La deuxième a pour solution \(x={5\over2}\), il n’y a aucun calcul à faire.

Mon conseil numéro 1 : si tu dois résoudre une équation du type \(6x-15=0\) ou \(3x^2-6x-9=0\) pense à factoriser — ici par 3 — avant de te lancer dans les calculs.

Et dans l’ordre

Même si des équations se ressemblent, elles ne se résolvent pas nécessairement de la même manière. Que penses-tu de \(3x^2+12x=0\), \(3x^2-12x=0\), \(3x^2-12=0\), \(3x^2+12=0\) ?
Si tu as suivi mon premier conseil, tu as déjà pensé à simplifier par 3.
Ensuite, les deux premières équations se factorisent par facteur commun, la troisième par identité remarquable, la dernière ne se factorise pas.

• \(3\times x\times(x+4)=0  \;;\; 3\times x\times(x-4)=0\)
• \(3\times (x-2)\times(x+2)=0\)
• \(3\times(x^2+4)=0\)

La règle du produit nul permet de conclure dans les trois premières équations. La quatrième équation n’a pas de solution puisque \(x^2+4\) est plus grand que 4 et ne peut donc pas être égal à zéro.

Mon conseil numéro 2 : commence par chercher les facteurs communs, ensuite pense à l’identité remarquable \(x^2-b^2=(x-b)\times(x+b)\)

Développer pour mieux factoriser ?

Ni facteur commun, ni identité remarquable dans \(x(x-3)+3(x-12)\) ? Si tu en es persuadé, alors prends le temps de développer, peut-être qu’à la fin du calcul une factorisation apparaîtra. C’est le cas ici.
Mais réfléchis bien : dans \(x(x-3)+3x(x-12)\) il y a un facteur commun à trouver. Et ne développe surtout pas \((x-2)^2-(2x-5)^2\) !!

Mon conseil numéro 3 : en dernier recours développe l’expression

Entraine-toi

• Améliore tes automatismes sur les méthodes usuelles de factorisation de polynôme avec l’activité Factorisation.
• Pour être incollable sur les trois identités remarquables, et avant de passer à la forme canonique d’un polynôme, essaye de résoudre les exercices proposés dans l’activité Identités remarquables.