Le théorème de Pythagore

Avec ce théorème l’élève apprend à rédiger des démonstrations qui mêlent géométrie et calcul. On lui ajoute la racine carrée, ce qui ne simplifie pas la tâche de l’enfant. Si au bout de deux ou trois ans d’utilisation, Pythagore devient une simple formalité, son apprentissage est parfois fastidieux. Je vous montre ici comment aider votre enfant dans son apprentissage.

Un puzzle pour comprendre

Le triangle de Pythagore le plus connu est sans doute le triangle 3-4-5. On l’appelle aussi l’équerre du maçon car il sert à vérifier les angles droits dans les bâtiments.

Si les deux côtés de l’angle droit mesurent 3 centimètres et 4 centimètres, pourquoi le grand côté (l’hypoténuse) mesure-t-il 5 centimètres ? Dans la figure de gauche, on dispose 4 triangles rectangles 3-4-inconnu de façon à ce qu’apparaissent un carré extérieur — de côté 4 + 3 = 7, mais peu importe — et un carré intérieur — celui-ci nous intéresse. En repositionnant deux des quatre triangles comme dans la figure de droite, on remarque que la partie rose saumon contient 16 + 9 = 25 carreaux. Le carré rose saumon de gauche contient alors lui aussi 25 carreaux, c’est donc que son côté mesure 5 centimètres, car 5 x 5 = 25.

Comment réaliser ce puzzle avec son enfant ?

Un exercice de collège à faire sur le triangle 5-8-inconnu ?

• Tracez puis découpez deux rectangles de côtés 5 et 8 grands carreaux, avec leur diagonale.
• Sur une feuille quadrillée, tracez deux grands carrés de côté 5 + 8 = 13 carreaux.
• Dans le premier carré, positionnez les quatre triangles rectangles comme dans la figure de gauche. Tracez le contour du carré intérieur ou coloriez-le.
• Dans le deuxième carré, positionnez les quatre triangles comme dans la figure de droite. Vont alors apparaitre deux petits carrés, l’un de côté 8 et donc contenant 8 x 8 = 64 carreaux. L’autre de côté 5 et donc contenant 5 x 5 = 25 carreaux. Soit un total de 89 carreaux.
• Le carré de la figure de gauche contient donc lui aussi 89 carreaux. Il reste à en déduire la longueur de son côté. Avec une calculette, on procède par essais successifs. 8 x 8 = 64, trop petit. 9 x 9 = 81, encore trop petit, on veut 89. 9,5 x 9,5 =90,25, un peu trop grand. 9,4 x 9,4 =88,36. Ah ? on est très proche.
• Le côté du carré, qui est aussi l’hypoténuse du triangle, mesure donc entre 9,4 et 9,5 carreaux. On peut alors montrer l’intérêt de la touche √ de la calculette, en tapant √89. On obtient environ 9,434. On vérifie ensuite que 9,434 x 9,434 est bien égal à 89.
• Conclusion, notre triangle 5-8-inconnu est devenu le triangle 5-8-9,434 ; l’exercice est résolu.

Et pendant le contrôle en classe, pas le temps de faire des puzzles !

En maths on apprend à faire des croquis pour s’aider dans les démonstrations. Celui-ci permet de résoudre le triangle 3-5-inconnu. À gauche du triangle, on dessine le carré 3 x 3 qui contient donc 9 carreaux. En dessous, le carré 5 x 5 qui donne 25 carreaux. D’après le principe du puzzle, le grand carré qui s’appuie sur l’hypoténuse contiendra 9 + 25 = 34 carreaux. On prend alors la calculatrice, qui donne √34 =5,8… On peut alors vérifier : 5,8 x 5,8 =33,64 . Exercice résolu, l’hypoténuse mesure un peu plus de 5,8 carreaux/centimètres/unités.

En quoi Klérigo peut-il aider mon enfant ?

Il y a un premier temps où l’enfant doit s’imprégner de l’égalité de Pythagore. Elle est souvent énoncée sous la forme \(BC^2=AB^2+AC^2\). Cette formule ne fait qu’illustrer le croquis ci-dessus. Plutôt qu’apprendre la formule par cœur — ce qui ne lui sera pas très utile dès que le triangle s’appellera DEF au lieu de ABC — il doit retenir que dans le croquis le grand carré est la somme des deux autres. Ce qui lui permettra aisément d’en déduire la suite : si l’énoncé me donne le grand côté (34) et un des deux petits (25), le troisième sera obtenu par soustraction (34 – 25 = 9).

L’activité proposée par Klérigo demande à l’enfant de déplacer un des trois sommets du triangle pour obtenir un angle droit. Les élèves de maths apprécient souvent qu’on leur laisse une marge de libérté, notamment en géométrie, où ils ont l’occasion de dessiner des figures plus ou moins esthétiques. Mais ici l’objectif est autre : rappeler à l’élève que l’égalité de Pythagore n’est valable que dans les triangles rectangles. On lui demande alors un premier — petit — effort, s’assurer que la figure de base est correcte. Ensuite on demandera de calculer un des trois côtés ; pas forcément l’hypoténuse, afin que passer de l’addition à la soustraction devienne un jeu plus qu’une contrainte. Le logiciel calcule la racine carrée, mais en mode difficile c’est à l’élève de faire les additions et soustractions, ainsi que quelques multiplications (3 x 3 = 9, 3,5 x 3,5 =12,25 …).

Pour les abonnés, l’activité est ici : Pythagore . L’élève motivé peut aussi s’entrainer à calculer des carrés un peu compliqués (3,5 x 3,5 ; 4,5 x 4,5 etc) avec l’activité Carrés de demis .