Maitriser le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique fait peur ? Pourtant son principe est très simple : un point se déplace sur un cercle, et on observe ses coordonnées. C’est tout ? C’est tout.

Quand tu as appris à l’école à te servir d’un rapporteur pour mesurer les angles, il n’était pas question de cosinus ou de sinus. Alors, à quoi ça sert ? Et pourquoi est-il important de savoir retrouver rapidement les cosinus et sinus des angles les plus utilisés en géométrie ? Je te propose un petit tour d’horizon.

Des triangles remarquables dans les équerres

Pourquoi la plupart des équerres ont-elles des angles de 30 et 60 degrés ? Parce que ce sont des demi-triangles équilatéraux. Les autres équerres ont deux angles à 45°, ce sont des demi-carrés. Ces deux figures régulières sont fondamentales en géométrie, car elles permettent, avec l’hexagone, de paver le plan. Autrement dit, on peut refaire le carrelage de la salle de bains avec. Voir par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Pavage_hexagonal

Cosinus et sinus dans un demi-triangle équilatéral

Les cosinus et sinus sont les côtés des triangles rectangles dont l’hypoténuse mesure 1. Les collégiens se souviennent (ou pas 😁)  que si l’hypoténuse mesure 3, ou 4, ou 5, ou… il faudra diviser par 3, 4, 5… pour obtenir les bonnes valeurs. Ce sont les fameuses formules \(cosinus = \large{adjacent \over hypothénuse}\small \; sinus = \large{opposé \over hypothénuse}\).

Mais au lycée, tu peux te contenter de retenir que le sinus est le côté opposé à l’angle. Et que donc le co-sinus (compagnon du sinus) est l’autre côté, c’est-à-dire l’adjacent.

Dans le croquis ci-dessus, on démontre aisément que le cosinus de 60° vaut 0,5. Pythagore nous donne le sinus : \(1^2-0,5^2=0,75\) et \(\sqrt{0,75}=\sqrt{3\over4}={\sqrt3 \over 2}\). Avec l’angle de 30° caché en haut, on obtient évidemment les mêmes valeurs, en permutant cosinus et sinus.

Cosinus et sinus dans un triangle rectangle isocèle

Pour se simplifier la vie (mais surtout les calculs) on commence par travailler dans un demi-carré de côté 1. Pythagore donne l’hypoténuse égale à \(\sqrt2\). On opère alors une petite réduction de √2 pour obtenir un beau triangle d’hypoténuse 1. Les cosinus et sinus de 45° valent donc chacun \(\normalsize{1\over\sqrt2}={\sqrt2\over\sqrt2\times\sqrt2}={\sqrt2\over2}\).

Faut-il vraiment apprendre ces valeurs “remarquables” alors que j’ai une calculatrice ?

Dans les disciplines qui utilisent les maths, notamment en physique-chimie, il est courant de mesurer des angles et d’en déduire des longueurs à l’aide du sinus ou du cosinus. Ici  les angles sont absolument quelconques et les valeurs remarquables ne sont d’aucun secours. Effectivement la calculatrice est ta meilleure alliée.

En maths c’est un peu différent, notamment au lycée. On continue à travailler dans des figures de base pour démontrer, par exemple,  que des droites sont perpendiculaires (avec deux angles de 45° on fait un angle droit) ou paralléles (avec trois angles de 60°). Et les valeurs remarquables sont très simples à mémoriser : \(0=\large{\sqrt0\over2}\small \;;\; 0.5=\large{\sqrt1\over2}\small \;;\; \large{\sqrt2\over2}\small \;;\; \large{\sqrt3\over2}\small \;;\; \large{\sqrt4\over2}\small=1\). Bon, les dernièrs modèles de calculatrices connaissent également ces valeurs, à toi de voir si tu préfères les stocker dans ta machine ou dans ton cerveau…

Et les radians dans tout ça ?

Si tu as déjà rencontré les fonctions dérivées, tu as dû remarquer qu’en étude de fonction on aimait bien les formules (relativement) simples. Lorsqu’on travaille en radians, la dérivée de sinus est cosinus. Pratique, non ? Avec des degrés il y aurait un facteur \({\pi\over180}\) qui trainerait partout.

À l’école tu as appris que le périmètre du cercle de rayon 1 est \(2\pi\times1=2\pi\approx6,28\). De là viennent les \(2\pi\) radians du cercle trigonométrique. Mais en pratique retiens que π rad = 180° et si tu n’es pas trop mauvais en calcul mental, tu en déduiras aisément que π/2 = 90°, π/3 = 60°, π/4 = 45° et π/6 = 30°. Les 2π/3, 3π/4 et 5π/6 viendront plus tard.

Je peux m’entrainer avec Klérigo ?

Dans un contrôle en classe qui porte sur la trigonométrie, tu as tout intérêt à dessiner rapidement un petit croquis de cercle trigo au brouillon, ça prend une minute, et tu es tranquille pour résoudre les exercices pendant l’heure qui suit. Il faut bien sûr que tu t’exerces à le faire rapidement et correctement. Dans l’activité Cercle trigonométrique tu es guidé dans l’exercice facile pour répondre à des questions en degrés. Au niveau intermédiaire, tu n’es plus guidé et les erreurs sont sanctionnées. Une fois à l’aise avec les degrés, tu peux passer aux radians dans l’exercice difficile. Quand tu commences à trouver que les questions sont toujours un peu les mêmes, c’est que tu es prêt 😁.