Suites arithmétiques

Rien de plus naturel qu’une suite arithmétique : compter de 1 en 1, de 2 en 2, tout le monde sait faire. Mais dans ce cas pourquoi ces suites n’apparaissent-elles qu’au lycée, en classe de première ? Peut-être parce qu’elles servent principalement d’introduction aux suites géométriques, que je présenterai dans un autre article. Les démonstrations avec des suites sont souvent perturbantes pour les élèves, car différentes de tout ce qui a été vu auparavant, notamment sur les fonctions. L’intérêt est donc de mettre en place ces raisonnements sur des suites simples, que l’on peut calculer facilement de tête ou à la main.

Tes premières suites arithmétiques : fonctions affines et équations de droites.

Au collège tu as  rencontré les fonctions linéaires et affines : \(f(x) = 4x \;;\; g(x)=3x+5\). Ce qui nous intéresse ici est le coefficient de \(x\) : 4 pour la fonction \(f\) et 3 pour la fonction \(g\). Observons un extrait des tableaux de valeurs des deux fonctions :

À gauche, sur la deuxième ligne, on compte de 4 en 4 : 0, 4, 8, 12. Voici une suite arithmétique de raison 4. À droite, on compte de 3 en 3 : 5, 8, 11, 14 ; on a donc affaire à une suite arithmétique de raison 3.

Une première remarque : ça ne fonctionne plus dès que \(x\) passe de 3 à 3,2 au lieu de passer de 3 à 4.

Passons aux équations de droites : \(y=4x\) et \(y=3x+5\). Que se passe-t-il quand l’abscisse \(x\) augmente de 1 ? Dans le premier cas l’ordonnée \(y\) augmente de 4, dans le deuxième cas elle augmente de 3. Ce principe très simple te permet de tracer des droites de façon très précise en utilisant le quadrillage, ou au professeur de vérifier si la droite a été bien tracée 😇.

Les suites des ordonnées des points sont arithmétiques :

• 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, de raison 4, pour l’équation \(y=4x\)
• 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, de raison 3, pour l’équation \(y=3x+5\)

Deuxième remarque : la notion de coefficient directeur — le coefficient qui donne la direction de la droite — est très proche de celle de la raison d’une suite arithmétique.

Des nouvelles notations à adopter

Pour éviter les confusions, notamment dans des problèmes où l’on trouve à la fois des suites et des fonctions, il est courant d’utiliser les notations \(u(n),\;v(n),\;w(n)\) pour les suites au lieu de \(f(x),\;g(x),\;h(x)\) réservées aux fonctions. Et très vite on passe à \(u_n,\;v_n,\;w_n\), ce qui permet d’être plus compact dans les calculs et démonstrations.

Donc si tu rencontres \(u_n=3n+5\), pas de panique, c’est la même chose que \(f(x)=3x+5\), sauf que…

… troisième remarque : \(n\) ne peut prendre que des valeurs entières positives (0, 1, 2, 3, …) alors que tu peux remplacer \(x\) par \(-3,\;\pi,\;2.57,\;\sqrt2\).

Travailler avec des entiers, c’est plus facile ?

Oui, bien sûr, quand il s’agit de remplacer \(n\) par 0, 1, 2, 3… rien de compliqué, on peut le faire de tête. Mais en maths il faut te méfier : si un nouvel outil est simple, on en profite pour revoir sous un autre angle les démonstrations que tu avais l’habitude de faire.

Tu vas ainsi apprendre des méthodes qui utilisent le fameux terme suivant ou “terme de rang n+1”. Avec des nombres réels cette notion de terme suivant n’existe pas : quel serait le terme suivant \(f(3)\) ? Serait-ce \(f(4), f(3.1), f(3,01), f(3,001)\) ? Avec des entiers, le terme suivant \(u_3\) est \(u_4\). Et le terme suivant \(u_n\) est \(u_{n+1}\).

Beaucoup d’élèves bloquent sur cette méthode, pourtant elle est utilisée en permanence, tu dois donc t’y habituer très rapidement. Avec les suites arithmétiques, les calculs sont simples une fois le principe admis.
Le terme suivant \(u_n=3n+5\) est \(u_{n+1}=3(n+1)+5=3n+3+5=3n+8\). On remarque que la différence entre les deux termes vaut 3, ce qui n’a pas grand intéret ici, puisqu’on savait déjà qu’on avait affaire à une suite de raison 3 (voir tableau de valeurs plus haut). Mais pour les suites non arithmétiques, ce genre de calcul sera extrêmement intéressant.

Quelles questions va-t-on te poser sur les suites arithmétiques ?

Comme ces suites sont très simples, on ne va pas te demander de compléter 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9, ce serait trop facile. Par compte, quel est le dixième terme de cette suite ? 21 peut-être puisqu’on ajoute 2 à chaque fois, en partant de 1. Perdu ! 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 ; 17 ; 19, le dixième terme est donc 19. Et le centième ? le millième ? Et la somme des 10 premiers termes ? des 100 premiers ?

Klérigo te propose d’acquérir quelques réflexes de base :

• déterminer la raison de la suite à partir de deux termes donnés ;
• en déduire la valeur du dixième, du quinzième terme ;
• calculer la somme des dix, quinze ou vingt premiers termes.

Les calculs sont simples, les quatre opérations de base suffisent. Mais il est si facile de faire des petites erreurs de raisonnement : le dixième terme est-il toujours \(u_{10}\) ? pas nécessairement, c’est souvent \(u_9\) mais ça peut être \(u_{11}\), selon le contexte. Pour l’obtenir, faut-il ajouter dix fois la raison ? Non, neuf fois si on part du premier terme ; huit fois si on part du deuxième. Bref, plutôt que des formules à connaitre par cœur, ce chapitre est l’occasion de réapprendre à compter sur ses doigts 😉

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